Bài tính tích phân sau, sử dụng biến đổi vi phân cho vui :D.
Bài toán. Tính tích phân\[I=\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 + {x^2}} } {\rm{d}}x.\]Lời giải. Đặt $\sqrt{x^2+1}=t$ ta có $t^2=x^2+1$ nên có $xdx=tdt$ và\begin{align*}
D &= {x^2}\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{d}}x = {x^2}t{\rm{d}}x = x{t^2}{\rm{d}}t = \frac{{{x^2}t{\rm{d}}x + x{t^2}{\rm{d}}t}}{2}\\
&= \frac{{xt}}{4}{\rm{d}}\left( {{x^2} + {t^2}} \right) = \frac{1}{4}\sqrt {{{\left( {{x^2} + {t^2}} \right)}^2} – {{\left( {{x^2} – {t^2}} \right)}^2}} {\rm{d}}\left( {{x^2} + {t^2}} \right).
\end{align*}Đặt $x^2+t^2=s$ và $\sqrt{s^2-1}=v$, ta lại có $v^2=s^2-1$ nên $vdv=sds$ và\[4D = \sqrt {{s^2} – 1} {\rm{d}}s = v{\rm{d}}s = {\rm{d}}\left( {sv} \right) – s{\rm{d}}v.\]Ta lại có\begin{align*}
s{\rm{d}}v &= \frac{{{s^2}{\rm{d}}v}}{s} = \frac{{\left( {{v^2} + 1} \right){\rm{d}}v}}{s} = \frac{{{v^2}{\rm{d}}v}}{s} + \frac{{{\rm{d}}v}}{s}\\
&= \frac{{vs{\rm{ds}}}}{s} + \frac{{{\rm{d}}v}}{s} = 4D + \frac{{{\rm{d}}v}}{s}.
\end{align*}Đồng thời\[\frac{{{\rm{d}}v}}{s} = \frac{{{\rm{ds}}}}{v} = \frac{{{\rm{d}}v + {\rm{ds}}}}{{s + v}} = \frac{{{\rm{d}}\left( {v + s} \right)}}{{v + s}} = {\rm{d}}\ln \left( {s + v} \right).\]Thay lên và rút ra được\[D = {\rm{d}}\left( {\frac{{sv – \ln \left( {s + v} \right)}}{8}} \right).\]Từ đó có kết quả là\[I = \left( {\frac{{\left( {2{x^2} + 1} \right)x\sqrt 2 – \ln \left( {2{x^2} + x\sqrt 2 + 1} \right)}}{8}} \right)\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. = \frac{{3\sqrt 2 – \ln \left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{8}.\]