Tình cờ, mình nhìn thấy cái bài này trên THTT, nội dung như sau đây

Bài toán. Cho $n$ là một số nguyên dương, chứng minh rằng phải có $3^{n+1}$ bé hơn số ${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}} + {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}}$, đồng thời cái số đó sẽ chia hết cho $3$.

Vốn là cái loại người xôi thịt và háu ăn, nên mình tham lam nghĩ “Ơ, thế sao không tính luôn số mũ của $3$ khi viết cái số củ chuối kia dưới dạng chính tắc?”. Việc đó, cũng hơi bị dễ luôn, vì nếu với mỗi số tự nhiên $n$, ta đi đặt\[{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}} + {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}} = {T_n}.\]Thế là có công thức truy hồi\[{T_{n + 1}} = T_n^3 – 3{T_n}.\]Đến đây, muốn lừa bọn trẻ con còn bé, thì quy nạp, còn không thì dùng tính chất phi Archimedean của hàm $v_3$. Đại khái, rồi ta sẽ có được $v_3\left(T_n\right)=n+1$, và thế là hết phim, một dao đi đời cả đôi chym 😀

À, mà đã nói đến hàm định giá, thì lại nghĩ “Thế sao không xây dựng luôn bổ để nâng bậc LTE trên vành bậc hai?”. Cụ thể là như này

Với mỗi $m\in\mathbb N^*$, $n\in\mathbb N$, $\frac{1+\sqrt 5}{2}=\alpha$ xét các tập\[R = \left\{ {k + l\alpha:\,k,\, l \in \mathbb Z} \right\},\; {I(m)} = \left\{ {{m}x:\,x \in R} \right\},\; I\left(3^n\right)=I_n.\]Hãy để ý rằng cứ với $x,\,y\in R$, thì $x\pm y\in R,\,xy\in R$, còn hễ lấy ra $a,\,b\in I(m)$ và $r\in R$ thì $a\pm b\in I(m),\,ra\in I(m)$.

Với $x,\,y\in R$, ta sẽ viết $x\equiv y\pmod{I(m)}$ nếu và chỉ nếu $x-y\in I(m)$. Nhờ những nhận xét phía trên về cấu trúc của $R$ và các $I(m)$, ta thấy là

1, $x\equiv x\pmod{I(m) }$ với mọi $x\in R,\,n\in\mathbb N$, cứ hễ có $x\equiv y\pmod{ I(m) }$ thì có $y\equiv x\pmod{I_n}$, đồng thời nếu $x\equiv y\pmod{ I(m) }$ và $y\equiv z\pmod{ I(m) }$ thì sẽ phải có được $x\equiv z\pmod{ I(m) }$.

2, Nếu $x\equiv y\pmod{ I(m) }$ và $x^\prime\equiv y^\prime\pmod{ I(m) }$ thì cũng sẽ có được là $x\pm x^\prime\equiv yy^\prime\pmod{ I(m) }$ và $xx^\prime\equiv yy^\prime\pmod{ I(m) }$. Điều đó kéo theo là nếu $x\equiv y\pmod{ I(m) }$ và $k$ là số nguyên dương, thì $x^k\equiv y^k\pmod{ I(m) }$.

Ta cũng sẽ viết $m\mid x$ nếu như $x\equiv 0\pmod{ I(m) }$ (cũng có nghĩa $x\in I(m) $). Quan hệ chia hết này, cũng có một số tính chất cơ bản như quan hệ chia hết ở trên $\mathbb Z$. Khi $x\notin I(m)$, ta sẽ viết $m\nmid x$.

Cho số nguyên dương $m$, $x,\,y\in R$ sao cho $x\equiv y\pmod{I(m)}$ và số nguyên dương $k$, ta có biến đổi sau\[{x^k} – {y^k} – k{y^{k – 1}}\left( {x – y} \right) = \left( {x – y} \right)\sum\limits_{1 \le j \le k – 1} {\left( {{x^j} – {y^j}} \right)y^{k-1-j}.} \]Là bởi vì $R$ đóng với phép cộng, trừ và nhân, nên với mỗi $j$ hẳn sẽ tồn tại các số $r_j\in R$ để mà $x^j-y^j=mr_j$. Nghĩa là, ta có khẳng định sau đây

Bổ đề 1. Cho số nguyên dương $m$, $x,\,y\in R$: $x\equiv y\pmod{I(m)}$, khi đó $$x^k\equiv y^k+ky^{k-1}(x-y)\pmod{I\left(m^2\right)}.$$

Bây giờ, với mỗi $x\in R$, vì $R=I_0$ nên $\left\{n\in\mathbb N:\;x\in I_n\right\}\ne\emptyset$, nếu $x\ne 0$ thì lấy giới hạn khi $n$ ra vô cùng để thấy $\left\{n\in\mathbb N:\;x\in I_n\right\}$ là hữu hạn, như thế nghĩa là với mỗi $x\in R$ và $x\ne 0$ sẽ tồn tại số tự nhiên $n$ lớn nhất để $x\in I_n$, khi đó ta sẽ viết $v_3(x)=n$. Diễn đạt khác đi thì, $v_3(x)=n$ nếu và chỉ nếu $x\in I_n\setminus I_{n+1}$.

Để ý $\mathbb Z\subset R$, và nếu $x\in\mathbb Z^*$ thì cái $v_3(x)$ nó trở lại bản chất như thứ ta đã quen biết trên $\mathbb Z$, có nghĩa là $v_3(x)=n$ nếu $x=3^ny$ với $y\in\mathbb Z$ và $3\nmid y$.

Với những ký hiệu và lý lẽ trên, ta dễ dàng kiểm tra các khẳng định sau đây

• $v_3(xy)=v_3(x)+v_3(y)$ với mọi $x,\,y\in R$.
• $v_3\left(x^k\right)=kv_3(x)$ với mọi $x\in R$ và $k\in \mathbb N^*$.
• $v_3(x\pm y)\ge \min\left\{v_3(x),\,v_3(y)\right\}$ với mọi $x,\,y\in R$, và khi $v_3(x)<v_3(y)$ thì có được $v_3(x\pm y)=v_3(x)$.

Nếu thêm quy ước là $v_3(0)=\infty$, thì ba cái tính chất trên vẫn cứ ổn nếu kết hợp các quy ước về vô cùng lớn. Và, ta có bổ để LTE đầu tiên trên $R$, như sau

LTE 1. Nếu $k$ là số nguyên dương không chia hết cho $3$, $x,\,y\in R$ sao cho $3\nmid xy$ và $x\equiv y\pmod{I_1}$ thì\[{v_3}\left( {{x^k} – {y^k}} \right) = {v_3}\left( {x – y} \right).\]

Chứng minh. Theo Bổ đề 1, thì ${v_3}\left( {{x^k} – {y^k} – k{y^{k – 1}}\left( {x – y} \right)} \right) = 2{v_3}\left( {x – y} \right)$ và \[{v_3}\left( {k{y^{k – 1}}\left( {x – y} \right)} \right) = {v_3}\left( {x – y} \right) > 0.\]Vậy, theo tính chất cuối của định giá, có\[{v_3}\left( {{x^k} – {y^k}} \right) = {v_3}\left( {k{y^{k – 1}}\left( {x – y} \right)} \right) = {v_3}\left( {x – y} \right).\]

Ta cũng có kết quả sau

LTE2. Cho $x,\,y\in R$ sao cho $3\nmid xy$ và $x\equiv y\pmod{I_1}$ thì\[{v_3}\left( {{x^3} – {y^3}} \right) = 1+{v_3}\left( {x – y} \right).\]

Chứng minh. Ta có ${v_3}\left( {{{\left( {x – y} \right)}^2}} \right) = 2{v_3}\left( {x – y} \right) > 1 = {v_3}\left( {3xy} \right)$, nên\[{v_3}\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = {v_3}\left( {{{\left( {x – y} \right)}^2} + 3xy} \right) = {v_3}\left( {3xy} \right) = 1.\]Vì thế có\[{v_3}\left( {{x^3} – {y^3}} \right) = {v_3}\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + {v_3}\left( {x – y} \right)=1+
{v_3}( {x – y}) .\]

Kết hợp hai kết quả đó, với phép truy toán ta có kết quả

LTE. Cho $k\in\mathbb N^*$, $x,\,y\in R$ sao cho $3\nmid xy$ và $x\equiv y\pmod{I_1}$ thì\[{v_3}\left( {{x^k} – {y^k}} \right) = v_3(k)+{v_3}\left( {x – y} \right).\]

Quay lại cái bài toán ở ngay phía đầu bài viết, với $a=\frac{3+\sqrt 5}{2},\,
b=\frac{-3+\sqrt 5}{2} $ áp dụng LTE có\[{v_3}\left( {{a^{{3^n}}} – {b^{{3^n}}}} \right) = {v_3}\left( {a – b} \right) + {v_3}\left( {{3^n}} \right) = n + 1.\] Còn, tính nguyên là vì thế này, đem chia đa thức $x^{3^n}$ cho tam thức $x^2-6x+1$, giả sử được dư là đa thức $kx+l$, thế thì $k,\,l$ là các số nguyên và có đa thức $q$ để viết được\[{x^{{3^n}}} = \left( {{x^2} – 6x + 1} \right)q\left( x \right) + kx + l.\] Ta đem thay $a$ và $-b$ (hai nghiệm của tam thức kia) vào để thấy\[{a^{{3^n}}} – {b^{{3^n}}} = 3k + 2l \in\mathbb Z. \]

Bạn đọc nào hứng thú với cái trò rồ dại này, có thể thay số $3$ bởi số nguyên tố nào đó, cũng vẫn có những kết quả như thế, trừ những trường hợp.. không như thế 😀 😀