Bài viết nối tiếp phần 2 ở [5]. Trường hợp này để xác định 2 tập $C$ và $E$ sẽ khó khăn hơn trước nhiều vì mở rộng nguyên có gì đó vẫn khá tổng quát. Ở bài viết này mang tính khái quát cao nên ta sẽ cố gắng tìm được nhiều tính chất của mở rộng và hạn chế ideal nhất có thể, khi làm việc về vành Dedekind ta sẽ làm rõ hơn phần này.

Trước khi đi vào bài viết, ta cần một số kết quả của mở rộng nguyên. Chứng minh các bạn có thể xem trong [2] hoặc [3].
Cho miền nguyên $A\subset B$ là các miền nguyên. Phần tử $b\in B$ được gọi là nguyên trên $A$ nếu tồn tại $a_0,a_1,…,a_{n-1}\in A$ sao cho \[b^n+a_{n-1}b^{n-1}+…+a_0=0\] Nếu $B$ là gồm toàn các phần tử nguyên của $A$ thì ta nói $B$ là một mở rộng nguyên của $A$.
Trên thực tế người ta định nghĩa mở rộng nguyên theo kiểu bao đóng nguyên (tức là sử dụng đến trường các thương). Cách định nghĩa trên của ta có những hạn chế nhất định, nhưng trong khuôn khổ bài viết này khi ta bàn chủ yếu đến mở rộng nguyên thì như vậy là đủ.
Tính chất 12: Cho $B$ là mở rộng nguyên của $A$. Nếu $B$ hữu hạn sinh theo nghĩa $A$- đại số thì $B$ cũng là $A$ – module hữu hạn sinh.

Read the rest of this entry »

Bài viết tiếp nối phần 1 ở [4].
III. Mở rộng và hạn chế ideal trên vành các thương
Trong mục này, ta sẽ xét $A$ là miền nguyên và $S$ là tập con nhân tính của $A$ ($0\notin S$) và $B=S^{-1}A$ với $f:A\rightarrow S^{-1}A, x\mapsto x/1$. Tức là ở đây ta coi $A$ thực sự nằm trong $S^{-1}A$.

Xét $\mathfrak{a}$ là ideal trong $A$ và $\mathfrak{A}$ là ideal trong $S^{-1}A$ , khi đó $\mathfrak{a}^e=S^{-1}A\mathfrak{a}=S^{-1}\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{A}^c=\mathfrak{A}\cap A$.
Giờ ta đi tìm họ các ideal mở rộng và ideal hạn chế trong trường hợp này.
Mệnh đề 8: Cho $\mathfrak{A}$ là ideal của $S^{-1}A$. Khi đó $\mathfrak{A}^{ce}=\mathfrak{A}$ hay $E=I(S^{-1}A)$.
Chứng minh. Hiển nhiên $\mathfrak{A}^{ce}=S^{-1}(\mathfrak{A}\cap A)$ nằm trong $\mathfrak{A}$. Điều ngược lại cũng đúng vì xét $a/s\in \mathfrak{A}$ với $a\in A,s\in S$ thì $s.a/s=a\in \mathfrak{A}$ nên $a\in \mathfrak{A}\cap A$ nên $a/s\in S^{-1}(\mathfrak{A}\cap A)$.
Do từ mệnh đề 2 ta có $E=\{\mathfrak{B}\lhd S^{-1}A:\mathfrak{B}^{ce}=\mathfrak{B}\}$ nên ta có điều phải chứng minh.

Read the rest of this entry »

Bài viết này trình bày một số kết quả về mở rộng và hạn chế ideal, cụ thể trong trường hợp vành thương, trên vành các thương và trên mở rộng nguyên

Cho $A$ là một vành. Nếu $\mathfrak{a}$ là ideal của $A$ thì ta kí hiệu $\mathfrak{a}\lhd A$. Ngoài ra ta gọi $I(A)$ là họ các ideal trong $A$, $Spec(A)$ là họ các ideal nguyên tố trong $A$, $M(A)$ là họ các ideal cực đại trong $A$.
Với miền nguyên $A$ và tập con nhân tính $S$ của $A$ ($0\notin S$), kí hiệu $S^{-1}A=\{a/s|a\in A,s\in S\}$ là vành các thương trên $A$ đối với $S$. Đặc biệt trong trường hợp $S=A-\{0\}$, ta kí hiệu trường các thương của $A$ bởi $F(A)=(A-\{0\})^{-1}A$.
Còn trường hợp $S=S_{\mathfrak{p}}=A-\mathfrak{p}$ với $\mathfrak{p}$ là một ideal nguyên tố trong $A$ thì ta kí hiệu $A_{\mathfrak{p}}=S_{\mathfrak{p}}^{-1}A$.
Một số kiến thức cơ bản về vành và ideal, bạn đọc có thể xem trong chương I của [1].

Read the rest of this entry »

Với lượng kiến thức chuẩn bị ở hai phần trước, phần 3 hi vọng sẽ đưa ra được một phương pháp để khảo sát nhóm Galois của đa thức hệ số hữu tỉ (nếu có).
V. Định lí Dedekin về nhóm Galois của đa thức hệ số nguyên monic, tách được
Định lí Dedekin là một phương pháp để tìm các phần tử đặc biệt trong nhóm Galois của một đa thức hệ số nguyên monic, tách được từ đó xác định được nhóm Galois đó.
Cần chú ý rằng định lí này có thể áp dụng cho đa thức hệ số hữu tỉ monic, vì đa thức hữu tỉ hoàn toàn có thể đưa về đa thức hệ số nguyên monic thông qua phép co dãn. Thật vậy xét $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_0$ với $a_n,a_{n-1},a_{n-2},…,a_0\in\mathbb{Q}$. Khi đó tồn tại $d\in \mathbb{Z}-\{0\}$ sao cho $d.\frac{a_i}{a_n}\in\mathbb{Z}$ với mọi $1\le i\le n-1$. Từ đó đa thức:
\[g(x)=\frac{d^n}{a_n}f(\frac{x}{d})=x^n+d\frac{a_{n-1}}{a_n} x^{n-1}+…+d^n\frac{a_0}{a_n}\]

Read the rest of this entry »

Trong cuốn “Fields and Galois Theory” của J. S. Milne, có bài toán 3.1 rất thú vị như sau:
Bài toán 1: Cho $F$ là trường có đặc số bằng $0$. Chứng minh rằng $F(x^2)\cap F(x^2-x)=F$
(Ở đây F(X) là trường phân thức hữu tỉ trên $F$)

Khoan bàn về chứng minh của bài toán, bằng cách “lắp số, lắp điều kiện”: Chọn $F=\mathbb{Q}$ ta được một bài toán sơ cấp sau:
Bài toán 2: Tìm các cặp đa thức $f(x),g(x)\in \mathbb{Q}[x]$ sao cho:
\[f(x^2)=g(x^2-x)\]

Read the rest of this entry »

Bài viết này tiếp nối phần 1:
Ở phần 1, ta mới nếu ra cơ bản về lý thuyết Galois cũng như tính chất của nhóm Galois. Giờ ta sẽ đi vào cụ thể tính toán nhóm Galois của đa thức hữu tỉ bất khả quy.
Trong bài viết này, $F$ là một trường.

III. Điều kiện để đa thức tách được và nhóm $G_f\subset A_n$
Ta thấy rằng phần lớn lý thuyết Galois làm việc trên đa thức tách được. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là làm thế nào để biết một đa thức là tách được? Theo những lý thuyết ta ở phần 1 thì điều này buộc ta phải biết tất cả các nghiệm của $f$, việc này không hề đơn giản.
Cách thứ nhất là khảo sát $f$ và $f’$, ở đây hiểu $f’$ là đạo hàm hình thức của $f$. Một kết quả kinh điển cho biết rằng nếu $f$ có nghiệm bội $\alpha$ thì $\alpha$ cũng là nghiệm của $f’$. Ý tưởng đó được mở rộng thành kết quả sau đây:
Định lí: Cho $f\in F[x]$, $f$ bất khả quy. Khi đó $f$ tách được khi và chỉ khi $gcd(f,f’)=1$.

Read the rest of this entry »

Nhóm Galois như đóng vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc của trường mở rộng, từ đó tìm được cấu trúc nghiệm của đa thức. Do đó việc tính nhóm Galois là rất quan trọng, tuy nhiên việc này không hề dễ dàng và không có một phương pháp tổng quát nào để tính mọi nhóm Galois

I. Sơ lược về lý thuyết Galois
Các khái niệm cơ bản về lý thuyết trường, bạn đọc có thể xem trong [2], ở đây tác giả chỉ trình bày ý tưởng chính của lý thuyết Galois.
Cho trường $K$ và xét mở rộng $F/K$. Khi đó tự đẳng cấu của $F$ trên $K$ tạo thành một nhóm, kí hiệu là $Aut(F/K)$.
Ta nói $F/K$ tách được nếu đa thức tối tiểu của mọi phần tử của $F$ trên $K$ đều tách được (không có nghiệm bội) , $F/K$ chuẩn tắc nếu nó là mở rộng đại số thỏa mãn mọi phần tử trong $F$ có đa thức tối tiểu trên $K$ phân rã trên $F$.
Đối tượng sau là cơ sở để xây dựng nên định lí cơ bản của lý thuyết Galois.

Read the rest of this entry »

Các bài phương trình-hệ phương trình-bất phương trình thông thường không phải thuộc lớp các bài khó hay là đẹp ở các cuộc thi hsg Toán, vì đa số các kỹ năng sử dụng để giải thường là xù xì trâu bò. Bài toán hệ phương trình ở dưới đây, cũng không là ngoại lệ nếu chỉ dùng biến đổi đại số. Tuy nhiên nếu để ý kỹ kết cấu, thì dùng hình học vào cũng tạo cảm giác đẹp đẽ.

Read the rest of this entry »

Bài toán sau, nói về đồng dư trên $\mathbb Q$ và thương Fermat trên đó.

Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn\[1 + \frac{1}{{{2^{p – 1}}}} + \ldots + \frac{1}{{{{\left( {p – 1} \right)}^{p – 1}}}} = \frac{m}{n}.\]Chứng minh rằng $(p-2)!m+n$ chia hết cho $p^2$.

Nó có lời giải như sau

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán sau đây ở một đề thi, nội dung là

Bài toán 1. Cho $2021$ số thực dương $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_{2021}$ và $F$ là tập con của $\mathbb R$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây

  • $a_k^2\in F$ với mỗi chỉ số $k$, đồng thời $a_1+a_2+\ldots +a_{2021}\in F$.
  • Nếu $x,\,y\in F,\,y\ne 0$ thì $x-y\in F$ và $\dfrac{x}{y}\in F.$

Chứng minh rằng, $a_k\in F$ với mỗi chỉ số $k$.

Bài toán này, có lẽ được mở rộng ra từ bài

Read the rest of this entry »

Tags:

Có người em hỏi tôi bài toán sau, và bạn ấy cần một lời giải sơ cấp, nội dung bài toán như sau.

Bài toán 1. Cho các số nguyên $a,\,b,\,c,\,d$ thỏa mãn\[a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d\sqrt 5 + e\sqrt 7 = 0.\]Chứng minh $a=b=c=d=e=0$.

Bạn nào đã học về lý thuyết mở rộng trường, thì cái bài này quá đơn giản. Còn, với yêu cầu sơ cấp hóa, thì chả có gì đơn giản hơn, là ta đi sơ cấp hóa các quá trình làm việc bằng lý thuyết mở rộng trường. Và vì vậy, có lời giải như sau.

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Có bạn nhờ tôi bài toán như sau

Bài toán. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương $a$ sẽ có vô số nghiệm nguyên dương của phương trình\[\frac{{x + y + 1}}{y} + \frac{{y + a}}{x} = 4.\]

Tôi có lời giải như sau

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

« Older entries