Bài viết nối tiếp phần 2 ở [5]. Trường hợp này để xác định 2 tập $C$ và $E$ sẽ khó khăn hơn trước nhiều vì mở rộng nguyên có gì đó vẫn khá tổng quát. Ở bài viết này mang tính khái quát cao nên ta sẽ cố gắng tìm được nhiều tính chất của mở rộng và hạn chế ideal nhất có thể, khi làm việc về vành Dedekind ta sẽ làm rõ hơn phần này.
Trước khi đi vào bài viết, ta cần một số kết quả của mở rộng nguyên. Chứng minh các bạn có thể xem trong [2] hoặc [3].
Cho miền nguyên $A\subset B$ là các miền nguyên. Phần tử $b\in B$ được gọi là nguyên trên $A$ nếu tồn tại $a_0,a_1,…,a_{n-1}\in A$ sao cho \[b^n+a_{n-1}b^{n-1}+…+a_0=0\] Nếu $B$ là gồm toàn các phần tử nguyên của $A$ thì ta nói $B$ là một mở rộng nguyên của $A$.
Trên thực tế người ta định nghĩa mở rộng nguyên theo kiểu bao đóng nguyên (tức là sử dụng đến trường các thương). Cách định nghĩa trên của ta có những hạn chế nhất định, nhưng trong khuôn khổ bài viết này khi ta bàn chủ yếu đến mở rộng nguyên thì như vậy là đủ.
Tính chất 12: Cho $B$ là mở rộng nguyên của $A$. Nếu $B$ hữu hạn sinh theo nghĩa $A$- đại số thì $B$ cũng là $A$ – module hữu hạn sinh.
Phản Hồi