Cho trước các đa thức hệ số thực là $f(x)$ và $g(x)$, trong đó $\deg g>0$ khi đó ta luôn có thể viết phân tích chính tắc của $g$ dưới dạng\[g\left( x \right) = c{p_1}{\left( x \right)^{{k_1}}}{p_2}{\left( x \right)^{{k_2}}} \ldots {p_n}{\left( x \right)^{{k_n}}}.\]Ở đây, $c$ là một hằng số thực khác $0$ (là hệ số bậc cao nhất của $g(x)$), còn $p_i(x)$ là các đa thức monic bất khả quy trên $\mathbb R[x]$, tức là các đa thức ở dạng $x-r_i$ hoặc $x^2+a_ix+b_i$ với $r_i,\,a_i,\,b_i$ là các số thực đồng thời $\Delta_i=a_i^2-4b_i<0$. Read the rest of this entry »
You are currently browsing articles tagged Đa Thức.
“How to Solve It” là tên một cuốn sách nổi tiếng của G.Pólya, một nhà sư phạm Toán Học nổi tiếng. Tôi mạo phép mượn nó làm tiêu đề cho chuỗi bài viết này, một chuỗi bài tôi muốn viết từ lâu. Nguyên nhân khoan hoãn và trù trừ cho dự định viết chuỗi bài này, vì tôi cảm thấy tự ti bởi năng lực bản thân, sợ viết ra rồi bị đánh giá là lên gân etc vv.. Tuy nhiên, do bản chất công việc phải làm hằng ngày, nên tôi lại hiểu rõ trách nhiệm mình cần làm. Thôi thì cứ viết lại những gì mình cảm nhận, hy vọng nó có ích với một số đối tượng nhất định. Read the rest of this entry »
Ở IMO 2006, có bài đa thức như này
Bài toán N4 IMO 2006. Cho $P(x)$ là một đa thức hệ số nguyên có bậc $n$ với $n>1$, với mỗi số nguyên dương $k$ ta ký hiệu $
P_k(x)=\underbrace{P(P(\ldots(P(x) \ldots))}_{k\; \text{lần}\;P}
$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$, luôn có không quá $n$ nghiệm nguyên phân biệt của phương trình $P_k(x)=x$.
Hôm nay, đem dạy bài này cho một đội để thị phạm cách chui vào bụi rậm rồi chui ra.. Cuối cùng xuất được cái lời giải sau 😀 Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đồ Thị Hàm Số, Nghiệm
Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai đa thức hệ số thực, chúng ta quan tâm đến vấn đề là khi nào hàm số $h:\,\mathbb R\to\mathbb R$ với quy tắc tương ứng $h(x)=f(g(x))$ sẽ là một hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Rõ ràng, khi $f(x)$ hoặc $g(x)$ là hàm hằng thì $h(x)$ cũng là hàm hằng, do đó ta chỉ quan tâm đền tình huống $\deg f,\,\deg g>0$.
Do $\deg h=\deg f.\deg g$, và nếu $\deg h$ là một số nguyên dương chẵn thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } h\left( x \right) = + \infty .\]Từ đây thấy rõ ràng là khi một trong hai đa thức $f(x)$ hoặc $g(x)$ có bậc chẵn, thì $h(x)$ không thể là hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Cũng để ý rằng, nếu $f(g(x))$ là nghịch biến, thì $-f(g(x))$ là hàm đồng biến, thêm nữa là nếu $f(g(x))$ là hàm đồng biến thì sau việc lấy giới hạn ra vô cực, ta thấy là hệ số ứng với bậc cao nhất của nó phải cùng dấu, mà hệ số này lại cùng dấu với tích của hai hệ số ứng với bậc cao nhất của $f(x)$ và $g(x)$ (do $\deg f,\,\deg g$ đều lẻ). Vì lẽ đó, ta chỉ cần quan tâm đến câu hỏi sau Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đạo Hàm, Tính Đơn Điệu
Bài toán. Cho đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$.
- Với $\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
- Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$ để viết được $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
Tags: Đa Thức, Đại Số, Nhị Thức Newton
Bài viết này, có nội dung là một số bài toán tôi sử dụng để dạy các học sinh thi VMO năm học 2018-2019. Các bài toán này, một số được tôi sáng tác mới hoặc mở rộng và làm mạnh từ các bài đã cũ.
P1. Một số nguyên dương $a$ gọi “đẹp” nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018. Read the rest of this entry »
Tags: Bổ Đề Tiếp Tuyến, Căn Nguyên Thuỷ, Đa Thức, Hàm Phần Nguyên, Song Ánh, Thặng Dư Bậc Cao
Trước tiên ta có khẳng định sau
Định lý 13.1.Với $g(x)$ và $h(x)$ là hai đa thức với các hệ số nguyên, trong đó:
\[\begin{align*}
g(x)=&a_lx^l+\ldots+a_0,\,\quad\quad a_l\ne 0\\
h(x)=&b_mx^m+\ldots+b_0,\,\quad\; b_m\ne 0
\end{align*}\]
Giả sử rằng $g(x)h(x)=c_{l+m}x^{l+m}+\ldots+c_0$, khi đó \[\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right).\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right) =\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right). \]
Chứng minh. Ta có thể coi $\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right)=\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right)=1$. Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right)$ và Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đa Thức Bất Khả Quy, Đa Thức Cylcotomic, Đa Thức Hệ Số Nguyên, Đa thức Nguyên Bản, Định Lý Gauss, Số Học, Tiêu Chuẩn Eisenstein
Chúng ta quan tâm đến khái niệm sau.
Định nghĩa. Một đa thức $f(x)$ với biến $x$ được gọi là Đa thức giá trị nguyên khi và chỉ khi nó nhận giá trị nguyên khi $x$ là số nguyên.
Ví dụ. Các đa thức có hệ số nguyên là những đa thức giá trị nguyên. Tuy nhiên có những đa thức có hệ số không là số nguyên nhưng vẫn là đa thức giá trị nguyên, chẳng hạn đa thức sau đây \[\dbinom{x}{r} = \dfrac{{x(x – 1) \ldots (x – r + 1)}}{{r!}}.\]Ta kí hiệu $f(x+1)-f(x)=\Delta f(x)$ và có khẳng định sau. Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đa Thức Giá Trị Nguyên, Đa Thức Hệ Số Nguyên, Định Lý Fermat bé, Hệ Số Tổ Hợp, Sai Phân, Số Học
Với $m$ là một số nguyên dương cho trước và $f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ là một đa thức hệ số nguyên, chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình đồng dư\[f(x)\equiv 0\pmod m.\]Nhận xét rằng, nếu $x_0$ là một nghiệm của phương trình đồng dư trên thì với mọi số nguyên $t$ ta có $x_0+mt$ cũng là nghiệm. Điều đó cho thấy hễ $x_0$ là một nghiệm, thì lớp thặng dư sinh bởi $x_0$ cũng ta nghiệm. Bởi vậy, khi ta nói đến số nghiệm của một phương trình đồng dư thì ta hiểu đó là số các lớp thặng dư khác nhau thoả mãn phương trình. Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Đồng Dư, Đồng Dư Bậc Cao, Phương Trình Đồng Dư, Số Học
Định lý 9.1. Với $p$ là một số nguyên tố. Lúc đó số nghiệm của đồng dư $$\begin{align} f(x)=a_nx_n+\ldots+a_0\equiv 0\pmod p,\end{align}\quad (7)$$không vượt quá $n$.
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng $p\nmid a$. Định lý sẽ trở nên tầm thường nếu $(7)$ không có nghiệm. Nếu $a$ là một nghiệm khi đó ta có thể viết \[f(x)=(x-a)f_1(x)+r_1,\] trong đó ta thấy rằng $p\mid r_1=f(a)$. Từ đó $$f(x)\equiv (x-a)f_1(x)\pmod p.$$ Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đồng Dư, Phương Trình Nghiệm Nguyên, Số Học
Định lý. Với $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3, và ta kí hiệu số nguyên $s^*$ thoả $ss^*\equiv 1 \pmod{p^2}$ là $\dfrac{1}{s}$. Lúc đó ta có \[1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{p – 1}} \equiv 0 \pmod {p^2} \]
Chứng minh. Với Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Định Lý Đơn Vị, Định Lý Wolstenholme, Đồng Dư, Số Học
Dưới đây là lời giải cho một bài toán rất khó về tính chất số học của đa thức.
Bài toán. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.
Lời giải. Giả sử $P(x)$ và $m$ là đa thức và số nguyên dương thỏa mãn, ta có 2 nhận xét sau:
Nhận xét 1. Nếu $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m+2^nP(n)$ thì $p\mid P'(n).$
Chứng minh. Ta có $v_p\left(m+2^nP(n)\right)\ge 2$, theo Fermat bé thì\[m + {2^n}P\left( n \right) \equiv m + {2^{n + p\left( {p – 1} \right)}}P\left( {n + p\left( {p – 1} \right)} \right)\pmod{p}.\]Vì thế ta lại có $v_p\left(m+2^{n+p(p-1)}P\left(n+p(p-1)\right)\right)\ge 2$, theo bổ đề tiếp tuyến và định lý Euler ta có Read the rest of this entry »
Tags: Bổ Đề Nâng Bậc, Bổ Đề Tiếp Tuyến, Đa Thức, Đa Thức Hệ Số Nguyên, Định Giá p-dic, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Thặng Dư Bậc Hai
Phản Hồi