Bài viết tiếp nối phần 1 ở [4].
III. Mở rộng và hạn chế ideal trên vành các thương
Trong mục này, ta sẽ xét $A$ là miền nguyên và $S$ là tập con nhân tính của $A$ ($0\notin S$) và $B=S^{-1}A$ với $f:A\rightarrow S^{-1}A, x\mapsto x/1$. Tức là ở đây ta coi $A$ thực sự nằm trong $S^{-1}A$.

Xét $\mathfrak{a}$ là ideal trong $A$ và $\mathfrak{A}$ là ideal trong $S^{-1}A$ , khi đó $\mathfrak{a}^e=S^{-1}A\mathfrak{a}=S^{-1}\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{A}^c=\mathfrak{A}\cap A$.
Giờ ta đi tìm họ các ideal mở rộng và ideal hạn chế trong trường hợp này.
Mệnh đề 8: Cho $\mathfrak{A}$ là ideal của $S^{-1}A$. Khi đó $\mathfrak{A}^{ce}=\mathfrak{A}$ hay $E=I(S^{-1}A)$.
Chứng minh. Hiển nhiên $\mathfrak{A}^{ce}=S^{-1}(\mathfrak{A}\cap A)$ nằm trong $\mathfrak{A}$. Điều ngược lại cũng đúng vì xét $a/s\in \mathfrak{A}$ với $a\in A,s\in S$ thì $s.a/s=a\in \mathfrak{A}$ nên $a\in \mathfrak{A}\cap A$ nên $a/s\in S^{-1}(\mathfrak{A}\cap A)$.
Do từ mệnh đề 2 ta có $E=\{\mathfrak{B}\lhd S^{-1}A:\mathfrak{B}^{ce}=\mathfrak{B}\}$ nên ta có điều phải chứng minh.

Để tìm họ các ideal hạn chế sẽ khó khăn hơn chút, ta sẽ cần đi tìm các ideal $\mathfrak{a}$ trong $A$ sao cho $\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}$. Mệnh đề sau sẽ trả lại câu hỏi đó.
Mệnh đề 9: Cho $\mathfrak{a}$ là một ideal của $A$. Xét trong mở rộng $S^{-1}A$ của $A$, khi đó:
• $\mathfrak{a}^{ec}=\cup_{s\in S} (\mathfrak{a}:s)$
• $\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}$ khi và chỉ khi không phần tử nào trong $S$ là ước của $0$ trong $A/\mathfrak{a}$
Như vậy, $C=\{\mathfrak{a}\lhd A:\forall s\in S, s \text{ không là ước của 0 trong } A/\mathfrak{a}\}$.
Chứng minh. Ý thứ nhất, ta có $\mathfrak{a}^{ec}=S^{-1}\mathfrak{a}\cap A$. Xét $a/s\in\mathfrak{a}^{ec}$ với $a\in \mathfrak{a},s\in S$, khi đó $a/s=b\in A$ nên $ a=bs \in \mathfrak{a}$, do đó $a/s=b\in (\mathfrak{a}:s)$ nên $a/s\in \cup_{s\in S} (\mathfrak{a}:s)$.
Ngược lại, xét $a\in \cup_{s\in S} (\mathfrak{a}:s) $, khi đó tồn tại $s\in S:a\in (\mathfrak{a}:s)$. Do đó $as\in \mathfrak{a}$ hay $a\in S^{-1}\mathfrak{a}$.
Ý thứ hai, ta đã biết $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a}^{ec}=(\mathfrak{a}:s)$ với mọi $s\in S$. Do đó $\mathfrak{a}=\cup_{s\in S}(\mathfrak{a}:s)$ khi và chỉ khi với mọi $s\in S$ thì $(\mathfrak{a}:s)=\mathfrak{a}$, tương đương với việc không tồn tại $b\notin \mathfrak{a}:bs\in\mathfrak{a}$ hay $s$ không là ước của $0$ trong $A/\mathfrak{a}$.

Quan sát một chút, nếu ideal $\mathfrak{a}\cap S\ne \varnothing$ thì mở rộng của nó trên $S^{-1}A$ phải chứa $1$ ($s.1/s=1$) nên khi đó $\mathfrak{a}^e=S^{-1}A$.
Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, tức là $\mathfrak{a}\cap S=\varnothing$ chưa đủ để mọi phần tử trong $S$ không là ước của $0$ trong $A/\mathfrak{a}$. Tuy nhiên với trường hợp nguyên tố thì lại được, hệ quả sau khẳng định điều đó:
Hệ quả 10: Cho $\mathfrak{p}$ là ideal nguyên tố trong $A$. Khi đó $\mathfrak{p}\in C$ khi và chỉ $\mathfrak{p}\cap S=\varnothing$.
Khi đó $\mathfrak{p}^e=S^{-1}\mathfrak{p}$ cũng là ideal nguyên tố.
Chứng minh. Từ mệnh đề 9 ta có: $\mathfrak{p}\in C$ khi và chỉ khi $\forall s\in S, b\in A:bs\in \mathfrak{p}$ thì $b\in \mathfrak{p}$.
Nếu $\mathfrak{p}\cap S=\varnothing$,thì $s\notin \mathfrak{p}$ mà $bs\in \mathfrak{p}$ nên $b\in\mathfrak{p}$. Do đó $\mathfrak{p}\in C$.
Chiều ngược lại hiển nhiên đúng theo nhận xét trên.
Xét $a/s.b/t\in S^{-1}\mathfrak{p}$ với $a,b\in A$ và $s,t\in S$ thì $ab\in S^{-1}\mathfrak{p}=\mathfrak{p}^{ec}=\mathfrak{p}$ (do $\mathfrak{p}\in C$), mà $ab\in A$ nên $ab\in A\cap S^{-1}\mathfrak{p}=\mathfrak{p}$, do đó $a\in\mathfrak{p}$ hoặc $b\in\mathfrak{p}$ nên $a/s\in S^{-1}\mathfrak{p}$ hoặc $b/t\in S^{-1}\mathfrak{p}$.

Định lí trên cho ta một tương ứng giữa tập các ideal nguyên tố trong $A$ không giao với $S$ và tập các ideal nguyên tố trong $S^{-1}A$, ở đây mở rộng của một ideal nguyên tố trong $A$ cũng là ideal nguyên tố và hạn chế của ideal nguyên tố trong $S^{-1}A$ cũng là ideal nguyên tố (theo mệnh đề 4). Từ đây ta cũng có quan hệ giữa tập các ideal cực đại trong $A$ không giao với $S$ và tập các ideal cực đại trong $S^{-1}A$

Hệ quả 11: Cho $\mathfrak{m}$ là ideal trong $A$. Nếu $\mathfrak{m}$ là phần tử cực đại trong họ $\{\mathfrak{a}\lhd A: \mathfrak{a}\cap A=\varnothing\}$ thì $\mathfrak{m}^e$ là ideal cực đại trong $S^{-1}A$.
Do đó mở rộng của ideal cực đại không giao với $S$ trong $A$ cũng là ideal cực đại trong $S^{-1}A$.

Cần chú ý mệnh đề ngược lại: “nếu $\mathfrak{M}$ cực đại trong $S^{-1}A$ thì $\mathfrak{M}^c$ cực đại trong $A$ và không giao với $S$” là không đúng vì $\mathfrak{M}^c$ hoàn toàn có thể nằm trong một ideal cực đại có giao với $S$.
Giờ ta xét trường hợp đặc biệt khi $S=S_{\mathfrak{p}}=A-\mathfrak{p}$ và $A_{\mathfrak{p}}=S_{\mathfrak{p}}^{-1}A$ với $\mathfrak{p}$ là ideal nguyên tố. Khi đó dữ kiện $\mathfrak{a} \cap S =\varnothing$ tương đương với $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{p}$.
Đăt $\mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}^e$, khi đó mọi ideal của $A_{\mathfrak{p}}$ đều nằm trong $\mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}$. Thật vậy xét ideal $\mathfrak{A}$ bất kì trong $A_{\mathfrak{p}}$ thì ta có ngay $\mathfrak{A}^c\subset \mathfrak{p}$ do đó $\mathfrak{A}^{ce}\subset \mathfrak{p}^e=\mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}$. Như vậy ta đã chỉ ra được $A_{\mathfrak{p}}$ là vành địa phương (có đúng 1 ideal cực đại).

Liên quan đến việc mở rộng và hạn chế ideal trên vành các thương có khái niệm ideal phân số rất thú vị, sẽ được trình bày trong một bài viết khác.

Tài liệu tham khảo:
[1] M. F. Atiyah, Introduction to Commutative Algebra
[2] Serge Lang, Algebraic Number Theory
[3] J. S. Milne, Algebraic Number Theory
[4] https://maths.vn/mo-rong-va-han-che-ideal/