Với các bạn học sinh, trước khi tiếp cận bài viết này, nên đọc qua bài viết ở link sau http://maths.vn/lat-cat/

Ở bài viết nói trên, tôi đã lấy một ví dụ về sự tồn tại một lát cắt vô tỷ, đó là
$$S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}.$$ Lát cắt này về thực chất, là lát cắt xác định số vô tỷ $\sqrt[3]{2}$. Cũng ở bài viết đó, ta đã có khái niệm về tích các lát cắt, và như chúng ta vẫn khơi khơi thừa nhận thì $$\sqrt[3]{2}^3=2.$$ Vậy là có ngay bài toán sau

Bài toán 1. Cho $S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}$, chứng minh rằng $$S^3=\{x\in\mathbb Q:\;x<2\}.$$

Để húc được bài trên, trước tiên ta để ý rằng, thực chất ra $S^3$ chính là tập tất cả các số hữu tỷ $p$ để sao cho có số dương $a$ trong $S$ thỏa mãn $p<a^3$. Cho nên sẵn có luôn $S^3\le C_2$, với
$$C_2=\{x\in\mathbb Q:\;x<2\}.$$ Công việc còn lại là phải chỉ ra $C_2\le S^3$, lấy tùy ý $r\in C_2$, lúc đó luôn sẵn $s\in C_2$ để $r<s$ và $s>1$. Giờ thì ta cần chỉ ra một $a\in\mathbb Q$ để $s\le a^3<2$ để mà bắc cầu có $a>0$, $a\in S$ và $r<a^3$.

Tóm lại là, ta quy về bài toán sau

Bài toán 2. Cho $s$ là số hữu tỷ, $1<s<2$. Chứng minh rằng, tồn tại $a\in\mathbb Q$ để $$s\le a^3<2.$$

Lời giải bài toán 2. Ta có $\dfrac{2}{s}$ là một số hữu tỷ lớn hơn $1$, vậy nên sẽ có số hữu tỷ dương $d$ để $\dfrac{2}{s}=1+d$. Giờ ta đặt $\min\left\{1,\,\dfrac{d}{8}\right\}=\delta$ và $q=1+\delta$, thì do bất đẳng thức $0< \delta\le 1$ nên\[{q^3} = 1 + 3\delta + 3{\delta ^2} + {\delta ^3} \le 1 + 7\delta \le 1 + \frac{{7d}}{8} < \frac{2}{s}.\] Tóm lại là có số hữu tỷ $q>1$ để $q^3<
\dfrac{2}{s} $, bây giờ xét thêm lát cắt $$T=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<s\right\}.$$ Sẵn có $1\in S$ và $1\in T$, nên từ bổ đề dưới đít bài viết kia, ta thấy là tồn tại các số nguyên không âm $k$ và $l$, để $${q^k} \in T,{\mkern 1mu} {q^{k+1}} \notin T,\;{q^l} \in S,{\mkern 1mu} {q^{l + 1}} \notin S.$$ Vậy cũng nghĩa là có được $${q^{3k}} < s \le {q^{3\left( {k + 1} \right)}},\;{q^{3l}} < 2 \le {q^{3\left( {l + 1} \right)}}.$$ Lại để ý là với $q$ lựa chọn như trên thì có $${q^3} < \frac{2}{s} < \frac{{{q^{3\left( {l + 1} \right)}}}}{{{q^{3k}}}}.$$ Từ đó sẽ thấy là $k<l$, tức là $k+1\le l$, và lại bắc cầu để có $$s \le {q^{3\left( {k + 1} \right)}} \le {q^{3l}} < 2.$$ Ta đi chọn $a=q^l$ là sẽ có điều cần phải có.

$\square$

Ở tình huống tổng quát, với $n$ là một số nguyên dương lớn hơn $1$ còn $r$ là một số hữu tỷ dương, ta có lát cắt căn bậc $n$ của $r$ là $$S = \left\{ {x \in \mathbb Q:\;x < 0} \right\} \cup \left\{ {x \in \mathbb Q:\;x > 0,{\mkern 1mu} {x^n} < r} \right\}.$$

Và bằng thủ đoạn tương tự, ta cũng sẽ có được $${S^n} = \left\{ {x \in \mathbb Q:\;x < r} \right\}.$$