Nhóm Galois như đóng vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc của trường mở rộng, từ đó tìm được cấu trúc nghiệm của đa thức. Do đó việc tính nhóm Galois là rất quan trọng, tuy nhiên việc này không hề dễ dàng và không có một phương pháp tổng quát nào để tính mọi nhóm Galois

I. Sơ lược về lý thuyết Galois
Các khái niệm cơ bản về lý thuyết trường, bạn đọc có thể xem trong [2], ở đây tác giả chỉ trình bày ý tưởng chính của lý thuyết Galois.
Cho trường $K$ và xét mở rộng $F/K$. Khi đó tự đẳng cấu của $F$ trên $K$ tạo thành một nhóm, kí hiệu là $Aut(F/K)$.
Ta nói $F/K$ tách được nếu đa thức tối tiểu của mọi phần tử của $F$ trên $K$ đều tách được (không có nghiệm bội) , $F/K$ chuẩn tắc nếu nó là mở rộng đại số thỏa mãn mọi phần tử trong $F$ có đa thức tối tiểu trên $K$ phân rã trên $F$.
Đối tượng sau là cơ sở để xây dựng nên định lí cơ bản của lý thuyết Galois.

Định lí: Cho $F/K$ là mở rộng hữu hạn với $G\le Aut(F/K)$, ta gọi
\[F^G=\{x\in F: \sigma (x)=x \forall \sigma \in G\}\]
là không gian ổn định của $G$ trong F.
Khi đó:
• $|Aut(F/K)|\le [F:K]$, dấu bằng xảy ra khi $F/K$ là trường phân rã của một đa thức tách được.
• $F^G/K$ là một mở rộng con và $[F:F^G]\le |G|$
• $G=Aut(F/F^G)$

Từ định lí trên, ta thấy có sự tương ứng giữa $G$ và $F^G$ (tức là giữa nhóm con của $Aut(F/K)$ và mở rộng con của $F/K$). Để có chiều ngược lại, ta cần xét một số mở rộng hẹp hơn, ở đó ta cần tính tách được và chuẩn tắc.
Định nghĩa: Ta nói $F/K$ là một mở rộng Galois nếu $F/K$ là một mở rộng hữu hạn, tách được và chuẩn tắc. Khi đó $Aut(F/K)$ được gọi là nhóm Galois của $F$ trên $K$, kí hiệu bởi $Gal(F/K)$.

Nói chung 3 tính chất này không có gì là “quá đáng” khi xét một trường mở rộng, nó không khiến cho đối tượng của ta bị thu hẹp quá nhiều. Thật vậy, lý thuyết Galois của ta sinh ra từ bài toán tìm nghiệm của đa thức hệ số hữu tỉ, do đó các nghiệm đó đều đại số nên trường mở rộng chứa tất cả các nghiệm hữu hạn. Do đó tính hữu hạn là cần thiết ở đây. Ngoài ra tính tách được cũng cần thiết để ta không cần xét các nghiệm bội, khiến cho các nghiệm bị đếm lặp nhiều lần ( nếu trường ta xét có đặc số bằng 0, đa thức bất khả quy sẽ tự động không có nghiệm bội). Còn tính chuẩn tắc có thể dễ dàng đạt được bằng cách thêm các nghiệm còn thiếu của đa thức vào mở rộng.
Định lí sau sẽ làm rõ điều đó:
Định lí$^{[1]}$: Cho $F/K$ là một mở rộng trường. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
• $F$ là trường phân rã của một đa thức $f\in K[x]$ tách được
• $F/K$ là mở rộng hữu hạn và $K=E^{Aut(E/F)}$
• $K=F^G$ với $G\subset Aut(E/F)$,$G$ hữu hạn
• $F/K$ là mở rộng Galois.

Từ đây ta có tương ứng Galois:
Định lí tương ứng Galois$^{[1]}$: Cho $F/K$ là mở rộng Galois với nhóm Galois $G=Gal(F/K)$. Khi đó ánh xạ $H\rightarrow E^H$ là một song ánh giữa tập các nhóm con của $G$ và tập các mở rộng con của $F/K$:
\[\{\text{nhóm con của G}\}\Leftrightarrow \{\text{mở rộng con của }F/K\}\]
với nghịch ảnh $M\rightarrow Gal(E/M)$. Hơn nữa:
• $H_1 \supseteq H_2 \Leftrightarrow E^{H_1}\subseteq E^{H_2}$ và khi đó
\[[H_2:H_1]=[F^{H_1}:F^{H_2}\]
trong đó vế trái là số lớp của $H_2$ trong $H_1$ ( và bằng $|H_1H_2/H_1|$)
• Nếu $H\subset G$ tương ứng với $M/K\subset F/K$ thì $\sigma H\sigma^{-1}$ tương ứng mới $\sigma M$.
Nói cách khác ta có đẳng thức:
\[E^{\sigma H\sigma^{-1}}=\sigma E^H\] \[Gal(E/\sigma M)=\sigma Gal(E/M) \sigma^{-1}\]
• $H$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$ khi và chỉ khi $E^H$ là mở rộng Galois của $K$. Khi đó ta có:
\[Gal(E^H/F)\cong G/H\]

II. Các tính chất cơ bản của nhóm Galois
Để tính nhóm Galois, việc nắm được các tính chất cơ bản của nó là cần thiết.
Các tính chất ở phần I rất tốt, ngoài ra ta còn một số tính chất về cấu trúc của nhóm Galois:
Định lí: Cho $M/K$ và $N/K$ là hai mở rộng cùng nằm trong mở rộng $F/K$.
• Nếu $M/K$ là mở rộng Galois thì $MN/N$ và $M/M \cap N$ cũng là các mở rộng Galois, đặc biệt ta có:
\[Gal(MN/N)\cong Gal(M/M\cap N)\]
thông qua ánh xạ $\sigma\mapsto \sigma|_{M}$
• Nếu $M/K$ và $N/K$ là mở rộng Galois thì $MN/K$ và $M\cap N/K$ cũng là mở rộng Galois và ta có:
\[Gal(MN/K)\cong Gal(M/K)\times Gal(N/K)\]
thông qua ánh xạ $\sigma\mapsto (\sigma|_{M},\sigma|_{N})$

Các tính chất trên đôi khi sẽ giúp ích trong việc tính toán nhóm Galois.
Giờ ta nhìn nhóm Galois dưới góc nhìn khác, xây dựng từ trường phân rã của đa thức tách được (vì mở rộng Galois là trường phân rã của một đa thức tách được). Hướng đi này sẽ cho ta thêm nhiều tính chất của nhóm Galois mà không thông qua trường mở rộng tương ứng.
Cho trường $F$ và $f(x)\in F[x]$ monic, tách được. Kí hiệu $F_f$ là trường phân rã của $f$. Khi đó đó ta có ngay $F_f/F$ là mở rộng Galois, kí hiệu $G_f=Gal(F_f/F)$.
Do $f$ tách được nên ta có phân tích \[f(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)…(x-\lambda_n)\]
trong đó $\lambda_i\in F_f$, đôi một khác nhau.
Với mỗi $\sigma\in G_f$, ta có ngay $\sigma$ hoán vị nghiệm của $f$ (tức là biến nghiệm của $f$ thành một nghiệm của $f$). Do đó ta có thể nhúng $G_f$ trong $S_n$.
Ngược lại, mỗi hoán vị trong $S_n$ tương ứng với hoán vị nghiệm của $f$ sẽ cảm sinh tối đa một phần tử trong $G_f$. Đây là hướng khai thác chính của phương pháp này.

Kết luận, ta có hai hướng để tính nhóm Galois theo hai cách nhìn đã trình bày ở trên. Cụ thể:
• Cách nhìn thứ nhất là xét nhóm Galois đặt trong tương ứng với trường mở rộng. Khi đó ta cần biến đổi cùng một lúc cả trường mở rộng và nhóm Galois để tìm ra tính chất của cả hai (cái này phụ trợ cho cái kia và ngược lại).
• Cách nhìn thứ hai dựa hoàn toàn vào đa thức tách được mà ta xét, từ đó rút ra một số tính chất của nhóm Galois từ đó tìm được nó.

Phần 2 của bài viết này sẽ nói kĩ hơn về cách làm thứ 2 đã nêu trên. Nếu có thêm thời gian tác giả sẽ viết thêm về cách làm thứ nhất.

Tài liệu tham khảo:
[1] Fields and Galois theory, J. S. Milne.
[2] Introduction to Galois theory, J. Baker.
[3] Abstract Algebra, David S. Dummit – Richard M. Foote.