Articles by Mr 2M

You are currently browsing Mr 2M’s articles.

Các bài phương trình-hệ phương trình-bất phương trình thông thường không phải thuộc lớp các bài khó hay là đẹp ở các cuộc thi hsg Toán, vì đa số các kỹ năng sử dụng để giải thường là xù xì trâu bò. Bài toán hệ phương trình ở dưới đây, cũng không là ngoại lệ nếu chỉ dùng biến đổi đại số. Tuy nhiên nếu để ý kỹ kết cấu, thì dùng hình học vào cũng tạo cảm giác đẹp đẽ.

Read the rest of this entry »

Bài toán sau, nói về đồng dư trên $\mathbb Q$ và thương Fermat trên đó.

Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn\[1 + \frac{1}{{{2^{p – 1}}}} + \ldots + \frac{1}{{{{\left( {p – 1} \right)}^{p – 1}}}} = \frac{m}{n}.\]Chứng minh rằng $(p-2)!m+n$ chia hết cho $p^2$.

Nó có lời giải như sau

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán sau đây ở một đề thi, nội dung là

Bài toán 1. Cho $2021$ số thực dương $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_{2021}$ và $F$ là tập con của $\mathbb R$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây

  • $a_k^2\in F$ với mỗi chỉ số $k$, đồng thời $a_1+a_2+\ldots +a_{2021}\in F$.
  • Nếu $x,\,y\in F,\,y\ne 0$ thì $x-y\in F$ và $\dfrac{x}{y}\in F.$

Chứng minh rằng, $a_k\in F$ với mỗi chỉ số $k$.

Bài toán này, có lẽ được mở rộng ra từ bài

Read the rest of this entry »

Tags:

Có người em hỏi tôi bài toán sau, và bạn ấy cần một lời giải sơ cấp, nội dung bài toán như sau.

Bài toán 1. Cho các số nguyên $a,\,b,\,c,\,d$ thỏa mãn\[a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d\sqrt 5 + e\sqrt 7 = 0.\]Chứng minh $a=b=c=d=e=0$.

Bạn nào đã học về lý thuyết mở rộng trường, thì cái bài này quá đơn giản. Còn, với yêu cầu sơ cấp hóa, thì chả có gì đơn giản hơn, là ta đi sơ cấp hóa các quá trình làm việc bằng lý thuyết mở rộng trường. Và vì vậy, có lời giải như sau.

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Có bạn nhờ tôi bài toán như sau

Bài toán. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương $a$ sẽ có vô số nghiệm nguyên dương của phương trình\[\frac{{x + y + 1}}{y} + \frac{{y + a}}{x} = 4.\]

Tôi có lời giải như sau

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài này, liên quan đến một bài viết khác của tôi, vấn đề đặt ra là như thế sau

Với $\alpha=\frac{1+\sqrt 5}{2}$, xét vành $R = \left\{ {a + b\alpha :\;a,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} b \in \mathbb Z} \right\}$, ta cần đi tìm các số nguyên tố $p$ để $I(p)=\{pr:\;r\in R\}$ là một ideal nguyên tố. Nghĩa là, cần tìm $p$ sao cho cứ từ $xy\in I(p)$ thì phải có $x\in I(p)$ hoặc $y\in I(p)$.

Bởi vì $5=\left(\sqrt 5\right)^2$, và nếu đặt $
\frac{1-\sqrt 5}{2}=\beta$ thì $\beta\in R$ thêm nữa $-2\alpha\beta=2$ cho nên ta chỉ cần xét các số nguyên tố lẻ và khác $5$.

Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Tình cờ, mình nhìn thấy cái bài này trên THTT, nội dung như sau đây

Bài toán. Cho $n$ là một số nguyên dương, chứng minh rằng phải có $3^{n+1}$ bé hơn số ${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}} + {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}}$, đồng thời cái số đó sẽ chia hết cho $3$.

Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Tập số thực $\mathbb R$ vốn được định nghĩa rất chặt chẽ qua các lát cắt hữu tỷ, từ khái niệm đó ta có định lý của Dedekind và sinh ra tự nhiên nguyên lý inf-sup. Chỉ có điều rất trái khoáy, là sgk lại không trình bày nền tảng Giải Tích theo lối đó, họ trình bày khái niệm giới hạn theo trình tự: mô tả giới hạn của dãy hội tụ về 0, sau đó đưa ra khái niệm dãy $\left(s_n\right)$ hội tụ về một số thực $l$ nhờ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left({s_n} -l\right)=0$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Bài toán sau, có thể coi là một mở rộng của định lý Wilson.

Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố, thỏa mãn $p-3$ chia hết cho $8$. Gọi $S$ là tập tất cả các số ở dạng $a+b\sqrt 2$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên không âm nhỏ hơn $p$ và không đồng thời bằng $0$. Giả sử tích tất cả các phần tử của $S$ viết được dưới dạng $m+n\sqrt 2$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên. Tìm số dư của $m$ và $n$ khi đem chia cho $p$. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Ở bài viết http://maths.vn/sap-day-cac-so-huu-ty/, chúng ta biết rằng $\mathbb Q$ là một tập đếm được, nghĩa là ta có thể sắp tất cả các số hữu tỷ thành một dãy số. Tập $\mathbb Q$ lại là một tập con thực sự của tập số thực $\mathbb R$, và theo như bổ đề Cantor đã trình bày ở bài  http://maths.vn/dieu-kien-don-dieu-cua-ham-kha-vi/, thì tập hợp các số hữu tỷ “thưa thớt” hơn tập số thực. Tuy nhiên, theo như quá trình xây dựng $\mathbb R$ qua các lát cắt trên $\mathbb Q$, thì có một đặc tính rất quan trọng của $\mathbb Q$ ở trong Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Tình cờ gặp bài toán sau.

Bài toán. Cho dãy số $\left(x_n\right)_{n\in\mathbb N}$ trong đó $x_0=1,\,x_1=3$ và với số tự nhiên $n$ bất kỳ, ta luôn có ${x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} – {x_n}$. Chứng minh rằng, nếu $k$ là số nguyên dương và $p$ là ước nguyên tố của $x_{2^k}$ thỏa mãn $p\equiv 1\pmod 4$, thì $2^{k+2}\mid (p-1)$. Read the rest of this entry »

Tags: ,

Bài toán mà Hải Thanh hỏi.

Bài toán. Tìm min của $f(x)=6x_1+x_2+x_3+3x_4+x_5-x_6$, với ràng buộc $x_i\ge 0$ với $i=\overline{1,\,6}$ và\[\left\{ \begin{array}{l}
– {x_1} + {x_2} – {x_4} + {x_6} = 15\\
2{x_1} – {x_3} + 2{x_6} = – 9\\
4{x_1} + 2{x_4} + {x_5} – 3{x_6} = 2
\end{array} \right.\] Read the rest of this entry »

Tags:

« Older entries