Bài toán sau đây ở một đề thi, nội dung là

Bài toán 1. Cho $2021$ số thực dương $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_{2021}$ và $F$ là tập con của $\mathbb R$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây

• $a_k^2\in F$ với mỗi chỉ số $k$, đồng thời $a_1+a_2+\ldots +a_{2021}\in F$.
• Nếu $x,\,y\in F,\,y\ne 0$ thì $x-y\in F$ và $\dfrac{x}{y}\in F.$

Chứng minh rằng, $a_k\in F$ với mỗi chỉ số $k$.

Bài toán này, có lẽ được mở rộng ra từ bài

Bài toán 2. Cho $S$ là một tập thỏa mãn $\mathbb Z\subset S\subset \mathbb R$ và cứ với $x,\,y\in S$ thì $x+y\in S,\,xy\in S$. Chứng minh rằng, nếu $\sqrt 2+\sqrt 3\in S$ thì $\sqrt 2-\sqrt 3\in S$.

Bài toán 2 này khá là dễ với các cháu lớp 8, chỉ cần cộng trừ nhân chia biến đổi loằng ngoằng một tý thì xong. Còn bài toán 1 kia, thì cũng dễ, cũng chỉ nhân chia cộng trừ biến đổi loằng ngoằng vài tý thì xong. Có điều, nó khó hơn một chút ở chỗ phải quy nạp, và, phải dùng đến sự mở rộng cấu trúc đại số. Cụ thể, những loằng ngoằng đó là như sau.

Lời giải. Để ý rằng $0=a_1^2-a_1^2\in F,\,1=\dfrac{a_1^2}{a_1^2}\in F$, từ đó cứ $x\in F$ thì sẽ phải có được $-x=0-x\in F$ và với $x\ne 0,\,x\in F$ thì $\dfrac{1}{x}\in F$. Vậy, với $x,\,y\in F$ thì cũng sẽ có $x+y\in F$ và $xy\in F$.

Ta sẽ chứng minh quy nạp rằng: Với $n\in\mathbb N^*$, $a_1,\,a_2,\,\ldots$, $a_{n}$ là các số thực dương và $F$ là tập con của $\mathbb R$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây

• $a_k^2\in F$ với mỗi chỉ số $k$, đồng thời $a_1+a_2+\ldots +a_{n}\in F$.
• Nếu $x,\,y\in F,\,y\ne 0$ thì $x-y\in F$ và $\dfrac{x}{y}\in F.$

Khi đó, $a_k\in F$ với mỗi chỉ số $k$.

Thật vậy, trường hợp $n=1$ là hiển nhiên. Giả sử khẳng định nêu trên đã đúng tới $n\in\mathbb N^*$, ta xét $n+1$ số thực dương $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_{n+1}$ thỏa mãn $a_k^2\in F$ với mỗi chỉ số $k$, đồng thời $a_1+a_2+\ldots +a_{n+1}\in F$. Xét tập $K$ xác định như sau\[K = \left\{ {x + {a_1}y:\;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} x,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} y \in F} \right\}.\]Do tính chất của $F$ nên với $u,\,v\in K$ ta sẽ có $u\pm v\in K$ và $uv\in K$. Giờ giả sử $u,\,v\in K$ và $v\ne 0$, ta viết $v=x+a_1y$ với $x,\,y\in F$, ta xét các trường hợp.

1, Nếu $x-a_1y=0$ và $y\ne 0$, khi đó $a_1=\frac{x}{y}\in F$ nên $v=x+a_1y\in F$ từ đó ta thấy là $\dfrac{1}{v}\in F\subset K$ do vậy $\dfrac{u}{v}=u.\dfrac{1}{v}\in K$.

2, Nếu $y=0$ thì $v=x\in F$ và $x\ne 0$ nên $\dfrac{1}{v}\in F\subset K$ để cũng có $\dfrac{u}{v}\in K$.

3, Nếu $x-a_1y\ne 0$ thế thì $m=x^2-a_1^2y^2\in F\setminus{0}$ do giả thiết, từ đó sẽ kéo theo $x/m,\,-y/m\in F$ và có $\dfrac{1}{v}=x/m-a_1y/m\in K$ kéo theo $\dfrac{u}{v}\in K$.

Vậy, cứ với $u,\,v\in K$ thì $u\pm v\in K,\,uv\in K$ và khi $v\ne 0$ thì $\dfrac{u}{v}\in K$. Do giả thiết quy nạp và việc $a_k^2\in F\subset K$, $\sum\limits_{2 \le k \le n + 1} {{a_k}} = \left( {\sum\limits_{1 \le k \le n + 1} {{a_k}} } \right) – {a_1} \in K$ cho nên sẽ có được $a_k\in K$ với mỗi $k>1$. Ta viết $a_2=s+a_1t$, với $s,\,t\in F$ và xét

-Nếu $t=0$, khi đó $a_2=s\in F$ nên $\sum\limits_{2 \ne k} {{a_k}}\in F$ và $a_k^2\in F$ với mỗi chỉ số $k$, vì thế theo giả thiết quy nạp sẽ có $a_i\in F$ với mọi chỉ số $i$ từ $1$ đến $n+1$.

-Nếu $s=0$, thì $a_2=ta_1$ với $t\in F$ và $t>0$ nên\[\sum\limits_{1 \le k \le n + 1} {{a_k}} = \left( {1 + t} \right){a_1} + \sum\limits_{2 < k \le n + 1} {{a_k}} \in F.\]Xét bộ $\left((1+t)a_1,\,a_3,\,\ldots,\,a_{n+1}\right)$ thỏa giả thiết quy nạp (để ý $(1+t)\in F$), vì thế $a_k\in F$ với mỗi $k>2$ còn $a_1\in F$ do $(1+t)a_1\in F$ và $a_1=\dfrac{(t+1)a_1}{t+1}$, từ $a_1\in F$ và $t\in F$ ta cũng có nốt $a_2=ta_1\in F$.

-Nếu $st\ne 0$, ta có $2st\in F\setminus{0},\,a_2^2,\,s,\,t,\,a_1^2\in F$ nên $$a_1=\frac{a_2^2-s^2-t^2a_1^2}{2st}\in F.$$Vì $\sum\limits_{2 \le k \le n + 1} {{a_k}} = \left( {\sum\limits_{1 \le k \le n + 1} {{a_k}} } \right) – {a_1} \in F$. nên bộ $\left(a_2,\,a_3,\,\ldots,\,a_{n+1}\right)$ thỏa giả thiết quy nạp, nên có nốt $a_k\in F$ với mỗi chỉ số $k>1$.

Các luận xét vừa rồi, cho ta điều cần chứng minh.