Bài tích phân truy hồi $\int\limits_0^1 {{x^n}\sqrt {1 – x} dx}$

Khái quát hóa, rồi lập công thức truy hồi cũng là một cách làm tốt với mấy bài tính tích phân, sau đây là một ví dụ.

Bài toán. Tính tích phân \[I=\int\limits_0^1 {{x^{10}}\sqrt {1 – x} \text{d}x} .\]  Lời giải. Đặt $\int\limits_0^1 {{x^{n}}\sqrt {1 – x} \text{d}x} =I_n$, ta có ngay\[{I_0} = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 – x} \text{d}x = \left( { – \frac{{2\sqrt {{{\left( {1 – x} \right)}^3}} }}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. = \frac{2}{3}.} \]Đồng thời, với mỗi số nguyên dương $n$ ta lại có biến đổi sau\begin{align*}
{I_n} &= \int\limits_0^1 {{x^n}\sqrt {1 – x} \text{d}x }= \int\limits_0^1 {{x^n}\text{d}  \left( \frac{{2\left( {x – 1} \right)\sqrt {1 – x} }}{3} \right) } \\
&= \left( {\frac{{2{x^n}\left( {x – 1} \right)\sqrt {1 – x} }}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. – \frac{2}{3}\int\limits_0^1 {\left( {x – 1} \right)\sqrt {1 – x} \text{d}{x^n}} \\
&= \frac{{2n}}{3}\int\limits_0^1 {\left( {{x^{n – 1}}\sqrt {1 – x} – {x^n}\sqrt {1 – x} } \right)\text{d}x} \\
&= \frac{{2n}}{3}{I_{n – 1}} – \frac{{2n}}{3}{I_n}.
\end{align*}Vì thế, có đẳng thức sau với mỗi số nguyên dương $n$\[{I_n} = \frac{{2n}}{{2n + 3}}{I_{n – 1}}.\]Thay vào ta có kết quả cần tính là\[I = {I_{10}} = \frac{{20}}{{23}} \times \frac{{18}}{{21}} \times \ldots \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{{{2^{21}}}}{{253{\rm{C}}_{21}^{11}}}.\]

Reply