Một lát cắt $C$ là một tập con thực sự của $\mathbb Q$, thỏa mãn đồng thời các điều kiện

• Mọi số hữu tỷ nhỏ hơn một phần tử nào đó của $C$, đều thuộc $C$.
• Trong $C$ không có số lớn nhất.

Cho $a$ là một số hữu tỷ, ta có thể dễ dàng kiểm chứng $C_a$ là một lát cắt trong đó $$C_a=\left\{x\in\mathbb Q:\;x<a\right\}.$$ Những lát cắt kiểu này, gọi là lát cắt xác định số hữu tỷ, ngoài ra ta có thể kiểm tra tập hợp sau đây cũng là một lát cắt $$S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}.$$ Cũng có thể chứng minh được rằng $S\ne C_a$ với mọi số hữu tỷ $a$, nói khác đi thì cái lát cắt $S$ kia nó không phải là lát cắt xác định số hữu tỷ. Lát cắt kiểu như $S$, tức là các lát cắt khác các lát cắt xác định số hữu tỷ, sẽ được gọi là lát cắt xác định số vô tỷ.

Tập hợp tất cả các lát cắt, ở bài viết này ký hiệu là $\cal R$, với $\alpha,\,\beta$ tùy ý thuộc $\cal R$ ta dễ dàng chứng minh được rằng $\alpha\cap\beta$ và $\alpha\cup\beta$ đều là các lát cắt. Đồng thời nếu $\alpha\ne\beta$ thì chỉ còn có hai khả năng sau xảy đến, đó là $\alpha\subset\beta$ hoặc $\beta\subset\alpha$. Khi mà $\alpha\ne\beta$ và $\alpha\subset\beta$ ta viết $\alpha<\beta$, và cũng viết $\beta>\alpha$. Còn viết $\alpha\le \beta$ thì được hiểu là $\alpha=\beta$ hoặc $\alpha<\beta$, và khi đó ta cũng viết $\beta\ge \alpha$.

Ta dễ dàng có các tính chất sau của quan hệ thứ tự giữa các lát cắt

• $\alpha\le\alpha$ với mỗi $\alpha\in\cal R$.
• $\alpha\le\beta$ và $\beta\le\alpha$ thì $\alpha =\beta$.
• $\alpha\le\beta$ và $\beta\le \gamma$ thì $\alpha\le\gamma$.

Lấy tùy ý ra từ $\cal R$ hai lát cắt $\alpha,\,\beta$ ta định nghĩa tổng của chúng là $$\alpha + \beta = \left\{ {a + b:\;a \in \alpha ,{\mkern 1mu} b \in \beta } \right\}.$$ Rất dễ dàng, ta có được các tính chất sau của phép lấy tổng

• $ \alpha + \beta \in\cal R$ với mọi $\alpha,\,\beta\in\cal R$.
• $\alpha + \beta = \beta + \alpha $ với mọi $\alpha,\,\beta\in\cal R$.
• $\left( {\alpha + \beta } \right) + \gamma = \alpha + \left( {\beta + \gamma } \right)$ với mọi $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\cal R$.
• Với mỗi $\alpha\in\cal R$, lại tồn tại lát cắt đối của $\alpha$ ký hiệu là $ -\alpha$ thỏa mãn $$\alpha +\left(-\alpha\right)=C_0.$$
• Với mỗi $\alpha\in\cal R$ lại có $\alpha +C_0=\alpha$.

Ký hiệu $\cal R^+$ là tập tất cả các lát cắt mà trong chúng có ít nhất một số hữu tỷ dương, ta gọi $\cal R^+$ là tập các lát cắt dương, có thể thấy ngay là \[{{\cal R}^ + } = \left\{ {\alpha \in {\cal R}:\;\alpha > {C_0}} \right\}.\]Lấy tùy ý $ \alpha,\,\beta\in \cal R^+ $, ta xác lập tích của chúng là tập tất cả các số hữu tỷ $p$ sao cho tồn tại các số dương $a,\,b$ tương ứng trong $\alpha,\,\beta$ thỏa mãn $p<ab$. Như thế, trên $\cal R$ ta sẽ định nghĩa được tích của hai lát cắt tùy ý nhờ quy tắc sau $$\alpha\beta=\begin{cases} C_0&\;\text{nếu}\;\alpha=C_0\;\text{hoặc}\;\beta=C_0.\\ -\left((-\alpha).\beta\right)&\;\text{nếu}\; \alpha<C_0<\beta.\\
\\ -\left(\alpha.(-\beta)\right)&\;\text{nếu}\; \alpha>C_0>\beta.\\
\\ \left((-\alpha)(-\beta)\right)&\;\text{nếu}\; \alpha<C_0,\,\beta<C_0.\end{cases}$$Với quy tắc lấy tích đó, ta có các tính chất sau

• $ \alpha . \beta \in\cal R$ với mọi $\alpha,\,\beta\in\cal R$.
• $\alpha \beta = \beta . \alpha $ với mọi $\alpha,\,\beta\in\cal R$.
• $\left( {\alpha . \beta } \right) . \gamma = \alpha . \left( {\beta . \gamma } \right)$ với mọi $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\cal R$.
• Mỗi $\alpha\in\mathcal R\setminus\{ C_0\}$, đều có lát cắt nghịch đảo của $\alpha$ ký hiệu là $ \alpha^{-1}$ thỏa mãn $$\alpha .\alpha^{-1}=C_1.$$
• Với mỗi $\alpha\in\cal R$ lại có $\alpha .C_1=\alpha$.
• $\alpha . \left( {\beta + \gamma } \right)=(\alpha.\beta)+(\alpha.\gamma)$ với mọi $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\cal R$.

Với hai phép lấy tổng và tích như trên, ta thấy $\cal R$ có được cấu trúc trường, mỗi lát cắt sẽ xác định duy nhất một số. Một lát cắt xác định số hữu tỷ, tương ứng với duy nhất một số hữu tỷ, còn mỗi lát cắt khác với các lát cắt xác định số hữu tỷ lại tương ứng với duy nhất một số vô tỷ. Tập các số hữu tỷ và các số vô tỷ, gọi là tập số thực, ký hiệu là $\mathbb R$.

Giả sử rằng các lát cắt $u^*$ và $v^*$ xác định tương ứng các số thực $u$ và $v$, khi đó

• Ta viết $u=v$ hoặc $u<v$ hoặc $u>v$ tương ứng theo các trường hợp $u^*=v^*$ hoặc $u^*<v^*$ hoặc $u^*>v^*$, như thế, xác lập được quan hệ thứ tự trên $\mathbb R$.
• $u+v$ và $u.v$ là các số thực được xác định tương ứng theo các lát cắt $u^*+v^*$ và $u^*.v^*$, để có hai phép toán tổng và tích các số thực.

Nhờ những sự xác định như trên, ta có $\mathbb R$ là một trường sắp thứ tự, nhận $\mathbb Q$ là trường con thực sự, ngoài ra nó còn có thêm một đặc điểm quan trọng mà $\mathbb Q$ không có được, nêu dưới đây.

Ta gọi một tập con $A$ của $\mathbb R$ là bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới) bởi số thực $c$, nếu và chỉ nếu với mỗi $a\in A$ đều có $a\le c$ (tương ứng $a\ge c$). Lúc đó, ta gọi $c$ là một cận trên (tương ứng là một cận dưới), và, có nguyên lý quan trọng sau

Nguyên lý Inf-Sup. Một tập con $A$ khác rỗng của $\mathbb R$ mà bị chặn trên (tương ứng bị chận dưới), thì tập các cận trên sẽ có số nhỏ nhất (tương ứng tập các cận dưới có số lớn nhất).

Số bé nhất trong các cận trên (tương ứng số lớn nhất trong các cận dưới) nói ở nguyên lý trên, sẽ ký hiệu là $\sup A$ (tương ứng $\inf A$). Về bản chất, thì $\sup A$ là số thực được sinh ra từ lát cắt hợp của tất cả các lát cắt sinh ra các phần tử của $A$. Còn $\inf A$, thì là số thực sinh ra từ giao các lát cắt đó nếu giao đó không có số lớn nhất, khi mà giao đó có số lớn nhất là $m$ thì $\inf A=m$.

Từ cái nguyên lý vừa rồi, ta đẻ ra đủ luôn các nguyên lý khác làm nền cho Giải Tích, như Weierstrass, Cantor, Cauchy, Bolzano, cũng để ý thêm nguyên lý sau

Nguyên lý Archimède. Cho $\alpha\in\cal R$ và $a\in \mathbb Q,\,a>0$, lúc đó sẽ có duy nhất số nguyên $k$ để $ka\in\alpha$ và $(k+1)a\notin\alpha$.

Cũng cần để ý cả bổ đề sau

Bổ đề. Cho $\alpha\in\cal R^+$, $a\in\alpha$ và $q$ là số hữu tỷ lớn hơn $1$, lúc đó sẽ có duy nhất số nguyên không âm $n$ để $aq^n\in\alpha$ và $aq^{n+1}\notin\alpha$.

Tổng quan và đại khái là như vậy 😀