Đồng nhất mặt phẳng $(Oxy)$ với mặt phẳng phức, khi đó với các số thực $x$ và $y$ thì số phức $m=x+iy$ chính là điểm $M(x,\,y)$, và tọa độ của điểm $M$ cũng chính là tọa độ của $\overrightarrow{OM}$.

Với $\alpha$ là một góc cho trước và số phức $t$ là điểm $T(a,\,b)$, lấy số phức $m\ne t$, khi đó giả sử góc tạo bởi vector nhận tọa độ của $m-t$ với vector nhận tọa độ của $1$ là $\theta$, thì viết được $m-t$ ở dạng\[m – t = \left| {m – t} \right|\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right).\]Lúc này, với $e_{\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$ ta có ngay\[\left( {m – t} \right){e_\alpha } = \left| {m – t} \right|\left( {\cos \left( {\theta + \alpha } \right) + i\sin \left( {\theta + \alpha } \right)} \right).\]Cho ta thấy rằng, ảnh của điểm $m$ qua phép quay tâm $T$, góc quay $\alpha$ chính là điểm \[{m^\prime } = t + \left( {m – t} \right){e_\alpha }.\]Sau những tính toán dông dài, để thấy là ảnh của $M(x,\,y)$ sau phép quay tâm $T$ góc quay $\alpha$ là điểm\[{M^\prime }\left( {a + \left( {x – a} \right)\cos \alpha – \left( {y – b} \right)\sin \alpha ,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} b + \left( {y – b} \right)\cos \alpha + \left( {x – a} \right)\sin \alpha } \right).\]

Giờ ta vận dụng điều này vào một bài toán, như sau

Bài toán. Trong hệ tọa độ $(Oxy)$, cho điểm $A(2,\,4)$. Tìm trên đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\dfrac{3x-2}{2x+1}$ hai điểm $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân ở $A$.

Lời giải. Giả sử $B=x+iy$ với $x,\,y\in\mathbb R$, khi đó có $$\begin{align*}C&=\mathcal R_A^{\frac{\pi}{2}}(B)=A+i(B-A)\\&=2+4i+i(x-2+i(y-4))\\&=6-y+i(x+2).\end{align*}$$
Giờ để ý $M(u,\,v)\in (C)$ nếu và chỉ nếu $$(2v-3)(2u+1)=-7.$$ Như vậy là có hệ sau $$\begin{cases}
(2y-3)(2x+1) &=-7,\\
(2x+1)(13-2y)&=-7.
\end{cases}$$Để có ngay $y=4$ và $x=-\frac{6}{5}$, dẫn đến\[B\left( { – \frac{6}{5},{\mkern 1mu} {\kern 1pt} 4} \right),\quad C\left( {2,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{4}{5}} \right).\]