Có người đồng nghiệp nhờ tôi chứng minh giúp định lý sau đây

Định lý Con Nhím. Cho tứ diện $ABCD$, chứng minh rằng tổng các vector pháp tuyến diện tích của các mặt tứ diện hướng ra phía ngoài bằng vector 0.

Chứng minh. Ta đặt \[\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {DC} = \overrightarrow c .\] Lúc này vector pháp tuyến diện tích của các mặt $(DAB),\,(DBC),\,(DCA)$ lần lượt là $$
\overrightarrow{n_{DAB}} =\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b},\;
\overrightarrow{n_{DBC}} =\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{c},\;
\overrightarrow{n_{DCA}} =\overrightarrow{c}\wedge \overrightarrow{a}.$$ Còn pháp tuyến diện tích của $(ABC)$ sẽ là $$
\overrightarrow{n_{ABC}} =\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{BC}.$$

Bây giờ có\[\overrightarrow {BA} \wedge \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow c – \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \wedge \overrightarrow c – \overrightarrow b \wedge \overrightarrow c – \overrightarrow a \wedge \overrightarrow b + \overrightarrow b \wedge \overrightarrow b .\] Đồng thời $\overrightarrow a \wedge \overrightarrow c =- \overrightarrow c \wedge \overrightarrow a $, từ đó có \[\overrightarrow {{n_{ABC}}} = – \overrightarrow {{n_{DCA}}} – \overrightarrow {{n_{DBC}}} – \overrightarrow {{n_{DAB}}} .\] Chuyển vế sang là có được điều cần chứng minh.