Nền Tảng

You are currently browsing articles tagged Nền Tảng.

Với các bạn học sinh, trước khi tiếp cận bài viết này, nên đọc qua bài viết ở link sau http://maths.vn/lat-cat/

Ở bài viết nói trên, tôi đã lấy một ví dụ về sự tồn tại một lát cắt vô tỷ, đó là
$$S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}.$$ Lát cắt này về thực chất, là lát cắt xác định số vô tỷ $\sqrt[3]{2}$. Cũng ở bài viết đó, ta đã có khái niệm về tích các lát cắt, và như chúng ta vẫn khơi khơi thừa nhận thì $$\sqrt[3]{2}^3=2.$$ Vậy là có ngay bài toán sau

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Một lát cắt $C$ là một tập con thực sự của $\mathbb Q$, thỏa mãn đồng thời các điều kiện

  • Mọi số hữu tỷ nhỏ hơn một phần tử nào đó của $C$, đều thuộc $C$.
  • Trong $C$ không có số lớn nhất.

Cho $a$ là một số hữu tỷ, ta có thể dễ dàng kiểm chứng $C_a$ là một lát cắt trong đó $$C_a=\left\{x\in\mathbb Q:\;x<a\right\}.$$ Những lát cắt kiểu này, gọi là lát cắt xác định số hữu tỷ, ngoài ra ta có thể kiểm tra tập hợp sau đây cũng là một lát cắt $$S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}.$$ Cũng có thể chứng minh được rằng $S\ne C_a$ với mọi số hữu tỷ $a$, nói khác đi thì cái lát cắt $S$ kia nó không phải là lát cắt xác định số hữu tỷ. Lát cắt kiểu như $S$, tức là các lát cắt khác các lát cắt xác định số hữu tỷ, sẽ được gọi là lát cắt xác định số vô tỷ.

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Tập số thực $\mathbb R$ vốn được định nghĩa rất chặt chẽ qua các lát cắt hữu tỷ, từ khái niệm đó ta có định lý của Dedekind và sinh ra tự nhiên nguyên lý inf-sup. Chỉ có điều rất trái khoáy, là sgk lại không trình bày nền tảng Giải Tích theo lối đó, họ trình bày khái niệm giới hạn theo trình tự: mô tả giới hạn của dãy hội tụ về 0, sau đó đưa ra khái niệm dãy $\left(s_n\right)$ hội tụ về một số thực $l$ nhờ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left({s_n} -l\right)=0$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Đây là câu hỏi của một bạn giáo viên trên group của các giáo viên . Tôi thấy nó là một câu hỏi giàu ý nghĩa, do đó tôi viết bài này. Trước tiên, xin nhắc lại là vấn đề được bạn giáo viên trong group đó đặt ra như sau.

Bài toán.  Cho $a$ là một số thực dương còn $\alpha$ là một số vô tỷ, giả sử có hai dãy số hữu tỷ cùng hội tụ về $\alpha$ là $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và  $\left(t_n\right)_{n\in\mathbb N}$, xét hai dãy cho bởi sự gán trị\[{u_n} = {a^{{r_n}}},\quad {v_n} = {a^{{t_n}}},\;\forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Chứng minh rằng, $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và  $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến một giới hạn.

Chú ý rằng, nếu bài toán vừa đưa ra được giải quyết, thì ta sẽ có được định nghĩa tốt cho $a^{\alpha}$. Theo đó thì, giá trị của $a^{\alpha}$ chính là kết quả giới hạn duy nhất mà các dãy $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và  $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến. Giờ, ta sẽ xử lý bài toán kia. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Tình cờ đọc trên facebook thấy có một bạn hỏi một bài toán Giải Tích cơ bản có liên quan đến hàm lồi, như sau đây

Bài toán. Cho $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ là một hàm lồi không giảm. Chứng minh rằng, tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ và kết quả giới hạn đó là một số thực không âm. Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Cá nhân tôi nghĩ rằng, khởi đầu của Số Học có lẽ là từ sự nhận thức của con người về tập hợp số tự nhiên $\mathbb N$, về bản năng thì điều này rất.. tự nhiên do nhu cầu đếm. Tuy nhiên, đưa ra một định nghĩa đàng hoàng về $\mathbb N$ là một điều khó khăn. Ở đây, chúng ta sẽ xây dựng $\mathbb N$ dựa trên hệ tiên đề Peano, như sau đây.

Hệ tiên đề Peano cho tập số tự nhiên.  Chúng ta thừa nhận sự tồn tại của tập hợp các số tự nhiên $\mathbb N$, mà trên đó xác định một quan hệ gọi là “liền sau”, thỏa mãn cả bốn tiên đề dưới đây. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Bài giảng này viết về khái niệm tập hợp, một khái niệm nền móng và cơ bản của Toán Học hiện đại. Khái niệm tập hợp giữ vai trò đặc biệt quan trọng trong Toán Học, không chỉ vì cho đến nay, lý thuyết Tập Hợp đã trở thành một nhánh rộng rãi và phong phú, mà còn vì từ sự xuất hiện từ chừng hai thế kỷ trước, lý thuyết Tập Hợp đã và vẫn đang có những ảnh hưởng sâu sắc đến toàn bộ Toán Học. Ở phạm vi bài viết này, tôi chỉ đưa ra các khái niệm cơ bản thuần túy, cùng các phép toán trên tập cơ bản nhất như giao, hợp, hiệu các tập. Một mục đích nữa của bài giảng, là cung cấp nền tảng khởi đầu cho môn Tổ Hợp. Vì thế, nên trong bài giảng có bàn đến các quy tắc xác định lực lượng tập hợp như nguyên lý cộng, bù trừ và nguyên lý nhân. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,