Ta sẽ làm nóng bằng một bài toán như sau:
Bài toán 1: Cho $a=\sqrt{2}+ \sqrt[3]{3}$.
Có tồn tại đa thức $f\in \mathbb{Q}[x]$ sao cho $f(a)=\sqrt{2}$?
Lời giải: Câu trả lời là có.
Thật vậy, $a- \sqrt{2}= \sqrt[3]{3}$. Lập phương hai vế ta được:
\[3=(a-\sqrt{2})^3=a^3-3\sqrt{2}a^2+6a-2\sqrt{2} \] Từ đó ta có $\sqrt{2}=\dfrac{a^3+6a-3}{3a^2+2}$
Mặt khác, ta dễ kiểm tra \[g(x)=(x^3+6x-3)^2-2(3x^2+2)^2=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1\] là đa thức tối tiểu của $a$.
Đặt $h(x)=3x^2+2$. Ta thấy ngay $f$ và $g$ nguyên tố cùng nhau.
Giờ ta áp dụng [1] để tìm đa thức $p,q\in\mathbb{Q}$ sao cho: (chỗ này mình lười tính quá)
\[ph+qg=c\in\mathbb{Q}\] Khi đó $p(a)h(a)=c$ nên $\sqrt{2}=\dfrac{a^3+6a-3}{3a^2+2}=\frac{1}{c}(a^3+6a-3).p(a)$
Do đó $f(x)= \frac{1}{c}(x^3+6x-3).p(x)$

Thực tế bài toán trên ta có thể tìm được tất cả các đa thức thỏa mãn, nhưng thực tế để tìm hết ta chỉ cần tìm ra $1$ đa thức như trên rồi sau đó sử dụng đa thức tối tiểu là xong.

Dạng bài trên có thể phát biểu như sau: Cho một biểu thức tạo ra từ các số cho trước (dạng đa thức nhiều biến) rồi sau đó tính các số đó dựa trên biểu thức đã cho. Nói chung nó có dạng như một bài toán tìm hàm ngược, nhưng khó hơn là dạng ta tìm là một đa thức. Một số bài toán tương tự dạng trên như sau:
Bài toán 2: Cho $a=(e^{2\pi i/4})^2$.
Có tồn tại đa thức $f\in \mathbb{Q}[x]$ sao cho $f(a)=e^{2\pi i/4}$ ?

Câu trả lời của bài toán trên là không tồn tại. Do đó ta nảy sinh ra câu hỏi tổng quát như sau:
Bài toán *: Cho $K$ là một trường và $F\in K[x_1,x_2,…,x_n]$.
Với $i=\overline{1,n}$, lấy $a_i\in \overline{K}$ – bao đóng đại số của $K$.
Đặt $u=F(a_1,a_2,…,a_n)$, tìm các đa thức $f_i(x)\in K[x]$ sao cho:
\[f_i(u)=a_i\]
Một câu hỏi tổng quát hơn: với $F$ nào thì tồn tại các đa thức trên, và liệu có một thuật toán nào để tìm ra chúng?

Ta nhận xét rằng $F$ thỏa mãn điều kiện bài toán khi và chỉ khi \[\mathbb{Q}(a_1,a_2,…,a_n)=\mathbb{Q}(F(a_1,a_2,…,a_n))\] Do đó bài toán ta đưa ra, thực chất là bài toán về mở rộng trường mà thôi. Trong trường hợp $K(a_1,a_2,…,a_n)/K$ là một mở rộng tách được và $K$ là một trường vô hạn, ta chỉ ra được tồn tại đa thức nhiều biến $F$ để ta tìm được $f_i$. May thay phần lớn các bài toán ta xét đều thỏa mãn các điều kiện này (lưu ý rằng mọi mở rộng trên trường có đặc số khác $0$ như $\mathbb{Q}$ chẳng hạn, đều tách được).
Định lí: (Định lí phần tử nguyên thủy)
Cho $K$ là trường vô hạn và $L/K$ là một mở rộng hữu hạn tách được. Khi đó $L/K$ là mở rộng đơn, tức là tồn tại $u\in \overline{K}$ sao cho $L=K(u)$.

Đây là một định lí khá cơ bản trong lý thuyết Galois, chứng minh khá thú vị có thể tham khảo trong [2].

Có thể thấy bài toán mà tác giả đề xuất ở đây khá gượng gạo vì chưa giải quyết triệt để. Tác giả sẽ nghiên cứu thêm.

Tài liệu tham khảo
[1] http://maths.vn/ap-dung-thuat-toan-euclid-vao-dinh-li-bezout/
[2] Andrew Baker, “An Introduction to Galois Theory”, p52.