Một trong những bài toán kinh điển nhất khi nghiên cứu các cấu trúc đại số là phân loại chúng, nghiên cứu xem với điều kiện gì thì hai cấu trúc như vậy đẳng cấu với nhau. Ta có thể làm điều này với các nhóm Abel hữu hạn bằng việc xét chúng như các module trên miền chính ($\mathbb{Z}$-module). Bài viết dựa trên chương 12 của [1].

I. Phân loại module hữu hạn sinh trên miền chính
Cho $A$ là miền chính ( vành mà mọi ideal đều sinh bởi 1 phần tử ).
Nói chung việc phân loại module tổng quát rất khó vì ta không có gì để đối chiếu chúng. Bài toán phân loại sẽ dễ dàng hơn khi ta xét trên module tự do, đặc biệt trên miền chính ta có một kết quả rất mạnh tương tự như với không gian véc tơ: module của một module tự do cũng là module tự do.

Mệnh đề 1: Cho $M$ là $A$-module tự do hạng $n$ và $N$ là một module con của $M$. Khi đó:
i. $N$ là module tự do hạng $k\le n$
ii. Tồn tại $m_1,m_2,…,m_n$ là cơ sở của $M$ và $a_1m_1,a_2m_2,…,a_km_k$ là cơ sở của $N$ với $a_1|a_2|…|a_k$
Nhận xét: Trước khi đi vào chứng minh chi tiết, ta có một số nhận xét. Mệnh đề nêu ra có 2 phần: phần thứ nhất chính là module con của module tự do trên vành chính sẽ tự do, phần thứ hai là chỉ ra một cơ sở cho cả $M$ và $N$ ràng buộc khá chặt chẽ với nhau, ở đây cần chú ý về tính chia hết trên miền chính.
Chứng minh: Do $M$ là module tự do hạng $n$ nên $M\cong A^n$ theo đẳng cấu $\upsilon=( \upsilon_1, \upsilon _2,…, \upsilon _n),\Sigma_{i=1}^n x_iu_i\longmapsto (x_1,x_2,…,x_n)$ với $u_1,u_2,…,u_n$ là cơ sở của $M$ và $\upsilon _i$ là phép chiếu tọa độ thứ $i$
Xét các đồng cấu (module) từ $M$ vào $A$. Với mỗi $\phi \in Hom_A(M,A)$ thì $\phi(N)$ là ideal của $A$, do đó tồn tại $a_{\phi}\in A$ sao cho $\phi(N)=(a_{\phi})$.
Xét $\Sigma=\{(a_{\phi})|\phi\in Hom_A(M,A) \}$, hiển nhiên $\Sigma$ khác rỗng ( $(0)\in \Sigma$). Do $A$ là miền chính nên nó là vành Notherian , do đó $\Sigma$ có phần tử cực đại $a_{\psi}$.
Do $\psi(N)=(a_{\psi})$ nên tồn tại $p_1\in N$ sao cho $\psi(p_1)=a_{\psi}$. (*)
Ta chứng minh $a_{\psi}| a_{\phi}$ với mọi $\phi\in Hom_A(M,A)$. (**)
Giả sử phản chứng $(a_{\phi})\nsubseteq (a_{\psi})$, khi đó $(a_{\phi})+(a_{\psi})$ là ideal trong $A$ nên nó sinh bởi phần tử $a$ nào đó. Khi đó tồn tại $x,y\in A$ sao cho $xa_{\phi}+ya_{\psi}=a$, xét đồng cấu $\mu=x\phi+y\psi\in Hom_A(M,A)$ thì ta có ngay $(a)\subseteq (a_{\mu})$ mà $(a_{\psi})\subsetneq (a)$ nên ta có $(a_{\psi})\subsetneq (a_{\mu})$, mâu thuẫn với (*).
Giờ ta áp dụng điều vừa chứng minh với các phép chiếu tọa độ $\upsilon_i\in Hom_A(M,A)$, ta có ngay $a_{\psi}|\upsilon_i(p_1)$ hay tồn tại $b_i\in A$ sao cho $\upsilon_i(p_1)=b_ia_{\psi}$.
Đặt $m_1=\Sigma_{i=1}^n b_iu_i$ và $a_1=a_{\psi}$ thì ta có $p_1=a_1m_1$ và $\psi(m_1)=1$.
Ta sẽ chứng minh $M=Am_1\oplus Ker\psi$ và $N=Aa_1m_1\oplus (Ker\psi \cap N)$. (***)
Thật vậy dễ kiểm tra $Aa_1m_1\cap(Ker\psi\cap N)=\varnothing$ và $Am_1\cap Ker\psi =\varnothing$ (do $a_{\psi}\ne 0$). Với mọi $m\in M$, ta có $\psi(m)=\psi(m).\psi(m_1)=\psi(\psi(m)m_1)$, do đó $m-\psi(m)m_1\in Ker\psi$ hay $m\in Am_1+Ker\psi$. Tương tự với trường hợp của $N$.
Từ (***) sử dụng quy nạp theo hạng của module $N$, ta chứng minh được (i). (Chú ý rằng nếu hạng của $N$ bằng 0 thì $N$ phải bằng 0 vì $N$ xoắn)
Sau khi có được (i), ta nhận thấy rằng $Ker\psi$ cũng là module tự do và $N\cap Ker\psi$ cũng là module con của nó, ta có thể tiếp tục các bước đã làm như trên để nhận được các phần tử $a_i\in A,p_i=a_im_i\in M$ thỏa mãn các điều kiện tương tự với $2\le i\le k$.
Đến đây ta chỉ cần kiểm tra $a_1|a_2$, còn $a_i|a_{i+1}$ có thể làm tương tự. Giả sử $\theta\in Hom_A(Ker\psi,A)$ sao cho $\theta(Ker\psi \cap N)=(a_2)$. Mặt khác ta có thể mở rộng $\theta$ thành $\overline{\theta}\in Hom_A(M,A)$ (do $Ker\psi$ là hạng tử trực tiếp của $M$). Do đó ta có:
\[(a_2)= \theta(Ker\psi \cap N)= \overline{\theta}(Ker\psi \cap N)\subseteq\
\overline{\theta}(N)\subseteq \psi(N)=(a_1)\]
trong đó bao hàm thức cuối có được theo (**). Ta hoàn tất chứng minh.

Chắc hẳn câu hỏi đầu tiên của mọi người khi đọc mệnh đề này là “Sao người ta nghĩ ra được dạng như vậy nhỉ?”. Theo tôi, có thể nó xuất phát từ không gian véc tơ (khi mà mọi module đều tự do) rồi người ta quan sát và tổng quát hóa lên như vậy. Đặc biệt các điều kiện chia hết sẽ đảm bảo tính duy nhất khi ta phân tích module thành tổng trực tiếp của các “dạng bất biến”.

Mệnh đề 2: Cho $M$ là $A$-module hữu hạn sinh. Khi đó $M$ có thể phân tích được dưới dạng:
\[M\cong A^t\oplus A/(a_1)\oplus A/(a_2)\oplus …\oplus A/(a_k)\]
trong đó $t,k\in \mathbb{N},a_i\in A$ không là đơn vị và $a_1|a_2|…|a_k$ với mọi $1\le i\le k$ và $a_1|a_2|…|a_k$

Mệnh đề trên có thể chứng minh bằng cách “nhúng” $M$ vào module tự do sinh bởi $M$. Gọi $S=\{m_1,m_2,…,m_n\}$ là một hệ sinh của $M$, khi đó xây dựng đồng cấu $\pi:A^n\rightarrow M,e_i\longmapsto m_i$ với $\{e_1,e_2,…,e_n\}$ là cơ sở của $A^n$. Từ đó có $\pi$ là toàn cấu và áp dụng định lí đồng cấu thứ nhất cùng mệnh đề 1 là ra.
Phân tích trên được gọi là dạng bất biến của module, trong đó $a_1,a_2,…,a_k$ được gọi là các thành phần bất biến và $t$ là chỉ số Betty của module $M$ (ta có thể thấy ngay nó chính là hạng của $M$).
Mạnh hơn, áp dụng bổ đề thặng dư Trung Hoa (phiên bản module) và tận dụng tính phân tích nguyên tố của các phần tử trên miền chính. Cần nhấn mạnh rằng miền chính cũng là vành Gauss, nên ta có thể làm được việc trên.

Bổ đề 3: Cho $a\in A$. Giả sử ta có phân tích nguyên tố:
\[a=up_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}… p_n^{\alpha_n}\]
trong đó $u$ khả nghịch, $p_i$ là các phần tử nguyên tố phân biệt trên $A$. Khi đó ta có đẳng cấu:
\[A/(a)\cong A/(p_1)^{\alpha_1}\oplus A/(p_2)^{\alpha_2}\oplus …\oplus A/(p_n)^{\alpha_n}\]

Mệnh đề 4: Cho $M$ là $A$-module hữu hạn sinh. Khi đó $M$ có thể biểu diễn dưới dạng:
\[M\cong A/(p_1^{\alpha_1})\oplus A/( p_2^{\alpha_2})\oplus…\oplus A/( p_n^{\alpha_n}) \]
trong đó $p_1,p_2,…,p_n$ là các phần tử nguyên tố (không nhất thiết phân biệt) trên $A$.

Dạng phân tích trên gọi là dạng sơ cấp của module $M$ và $p_i^{\alpha_i}$ là các ước sơ cấp của $M$. Giữa dạng sơ cấp và dạng bất biến có quan hệ mật thiết với nhau: từ dạng chính tắc ta có thể tìm được dạng sơ cấp và ngược lại.

Mệnh đề 5: Hai A-module hữu hạn sinh $M_1,M_2$ đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi:
i. Chúng có cùng chỉ số Betty và có cùng bộ thành phần bất biến.
ii. Chúng có cùng chỉ số Betty và có cùng bộ ước sơ cấp.

Mệnh đề trên vừa cho ta biết phân tích của ta là duy nhất, vừa cho ta biết nó đủ tốt để ta phân loại các module trên miền chính.

Do khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi chỉ có thể đưa ra chứng minh của mệnh đề 1 (mệnh đề khó chứng minh nhất và quan trọng nhất), còn các mệnh đề còn lại đều là hệ quả của mệnh đề 1, đọc giả có thể xem trong [1] cho những chứng minh còn lại.

II. $\mathbb{Z}$- module và phân loại nhóm hữu hạn

Cho $(G,+)$ là một nhóm Abel hữu hạn có đơn vị là $0$, khi đó ta có thể coi $G$ là một $\mathbb{Z}$-module dựa trên tác động:
\[n.g=\left\{ \begin{array}{l}
0, n=0\\
\underbrace{g+g+…+g}_{n},n>0\\
-(-n).g, n<0
\end{array} \right.\]
Ta thấy ngay $G$ là module xoắn toàn phần (theo định lí Larange thì $|G|$ là phần tử hủy (annihilator) của module $G$). Đặc biệt do $|G|$ hữu hạn nên $G$ hữu hạn sinh, ta có thể áp dụng những lý thuyết ở phần I để phân tích $G$ và xa hơn là phân loại các nhóm hữu hạn.

Một ví dụ đơn giản như tìm tất cả nhóm cấp 36 (chính xác đến đẳng cấu).
Ta đã biết mọi nhóm hữu hạn đều xoắn toàn phần nên ta không cần quan tâm đến chỉ số Betty. Điều còn lại là ta tính xem có những tập thành phần bất biến nào khả dĩ.
Xét một bộ thành phần bất biến $a_1|a_2|…|a_k$, ta thấy ngay $a_1a_2…a_k=36$. Khi đó ta tìm được các bộ $(36);(2,18);(3;12);(6,6)$, tương ứng là các nhóm:
\[ \begin{array}{l}
\mathbb{Z}_{36};\\
\mathbb{Z}_{2}\oplus \mathbb{Z}_{18}; \\
\mathbb{Z}_{3}\oplus \mathbb{Z}_{12}; \\
\mathbb{Z}_{6}\oplus \mathbb{Z}_{6} .
\end{array} \]

Bài viết đến đây gợi mở rất nhiều hướng đi mới khi ta vừa có một công cụ rất mạnh. Bài viết tiếp theo ta sẽ sử dụng nó để chứng minh định lí Syllow, mặc dù việc này chẳng khác gì “dùng dao mổ trâu để giết gà” khi ta có thể sử dụng tác động nhóm – một công cụ đơn giản hơn nhiều để giải quyết bài toán này. Tuy vậy ta có thể xem chứng minh định lí Sylow như một ứng dụng hiệu quả của những gì ta vừa xây dựng.

Tài liệu tham khảo:
[1] David S. Dummit, Richard M. Foote, Absact Algebra