Có 3 định lí đồng cấu nhóm cơ bản, ở bài viết này chúng ta quan tâm đến việc mở rộng định lí đồng cấu thứ 2, từ đó áp dụng chứng minh bổ đề Zassenhaus. Ngoài ra ta cũng bàn về nhóm con chuẩn tắc và tính giao hoán.

Cho $(G,.)$ là một nhóm. Nhắc lại rằng $H$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$ nếu $H$ là nhóm con và $xH=Hx$ với mọi $x\in G$.
Nói cách khác $H$ giao hoán với bất kì phần tử nào của $G$, do đó $H$ giao hoán với bất kì tập con nào của $G$. Từ ý tưởng đó ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: Cho $M,N$ là các nhóm con của $G$, trong đó $N$ là nhóm con chuẩn tắc. Khi đó $MN=\{mn|m\in M,n\in N\}$ cũng là nhóm con của $G$. Đặc biệt ta có:\[MN=M*N=NM\]
Ở đây $M*N$ là tích tự do của $M$ và $N$.

Một hệ quả của mệnh đề 1, trong trường hợp cả $M$ và $N$ đều chuẩn tắc trong $G$ thì $MN$ sẽ là nhóm con chuẩn tắc. Do đó tập các nhóm con chuẩn tắc trong $G$ cùng với tích tự do lập thành một nửa nhóm đối xứng đối hợp có đơn vị $\{e\}$.

Chứng minh mệnh đề 1 không có gì khó khăn. Mệnh đề 1 ngoài nói về tính giao hoán của nhóm con chuẩn tắc $M$ và một nhóm bất kì, nó còn cho ta biết nhóm con sinh bởi $M$ và nhóm đó. Điều này rất có ý nghĩa trong định lí đồng cấu thứ 2:

Định lí đồng cấu thứ 2: Cho $M,N$ là nhóm con của $G$, trong đó $M$ chuẩn tắc. Khi đó $M\lhd MN$ và $M\cap N\lhd N$, ta có đẳng cấu:\[N/(N\cap M)\cong MN/M\]

Ta mở rộng định lí đồng cấu thứ 2 như sau:

Định lí 3: Cho $A,B,C$ là nhóm con của $G$. Biết $A\lhd G$, $C\lhd B$ và $A\cap B\subset C$ . Khi đó ta có đẳng cấu:\[AB/AC\cong B/C\]
Chứng minh: Xét ánh xạ $\phi:AB\rightarrow B/C, ab\longmapsto bC$ với $a\in A,b\in B$. Ánh xạ xác định vì $ab=a’b’$ với $a,a’\in A;b,b’\in B$ dẫn tới $a^{-1}a’=bb’^{-1}\in A\cap B\subset C$ nên $bC=b’C$. Ta cũng dễ dàng kiểm tra ánh xạ trên là đồng cấu nhóm.
Ta kiểm tra hạt nhân của đồng cấu trên, thấy ngay $AC\subset Ker\phi$
Mặt khác $ab\in Ker\phi$ với $a\in A,b\in B$ dẫn tới $bC=C$ hay $b\in C$, khi đó $ab\in AC$. Do đó ta có $Ker\phi=AC$.
Áp dụng định lí đồng cấu thứ nhất, ta có:
\[AB/AC\cong B/C\]

Từ định lí trên, chọn $C=A\cap B$, ta nhận được định lí đồng cấu thứ 2. Mở rộng này thú vị ở chỗ, ta có thể “giản ước” chúng, ta sẽ bàn đến chủ đề này trong bài viết khác.

Ta sẽ áp dụng định lí mở rộng trên để chứng minh bổ đề Zassenhaus:

Bổ đề Zassenhaus: Cho $A\lhd A^*,B\lhd B^*$ là các nhóm con của $G$. Khi đó $A(A^*\cap B)\lhd A(A^*\cap B^*)$ và $B(B^*\cap A)\lhd B(B^*\cap A^*)$ .Ta có đẳng cấu:\[A(A^*\cap B^*)/A(A^*\cap B)\cong B(B^*\cap A^*)/B(B^*\cap A)\]
Chứng minh: Ta có $A^*\cap B\lhd A^*\cap B^*$ và $B^*\cap A\lhd A^*\cap B^*$, do đó $D=(A^*\cap B)( B^*\cap A)=( B^*\cap A)(A^*\cap B)\lhd A^*\cap B^*$.
Ta chứng minh $A(A^*\cap B^*)/A(A^*\cap B) \cong (A^*\cap B^*)/D$
Dễ thấy $A(A^*\cap B)=A( B^*\cap A)(A^*\cap B)=AD$. Áp dụng định lí đồng cấu thứ 2 mở rộng cho $A,A^*\cap B^*,D$ là các nhóm con của $A^*$ với $A\lhd A^*$; $D\lhd A^*\cap B^*$ và $A\cap(A^*\cap B^*)=A\cap B^*\subset D$. Ta có: \[A(A^*\cap B^*)/AD\cong (A^*\cap B^*)/D\]
Tương tự ta có: \[B(B^*\cap A^*)/BD\cong (A^*\cap B^*)/D\]
Từ hai điều trên có điều phải chứng minh.

Bổ đề Zassenhaus được sử dụng để chứng minh định lí Jordan-Holder về dãy giải một nhóm cho trước. Nhìn riêng, nó cho ta một cấu trúc khá thú vị giữa hai cặp nhóm con tưởng chừng chẳng liên quan gì đến nhau.
Tổng kết lại bài viết, mở rộng định lí đồng cấu thứ hai cho ta một chứng minh cho bổ đề Zassenhaus, tuy nhiên nó còn cho ta một phép “giản ước”, khi kết hợp cùng với cấu trúc nửa nhóm của các nhóm con chuẩn tắc ta sẽ được nhiều điều thú vị, ta sẽ bàn ở những bài viết sau.

Tài liệu tham khảo:
[1] J.J.Rotman, “Introduction to the Theory of Groups”.