Chúng ta quan tâm đến chứng minh cho khẳng định sau đây

Mệnh đề 1. Cho các số nguyên dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $\gcd (a,\,b)=1$ và $ab=c^2.$ Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương $u$ và $v$ sao cho $$a=u^2,\quad b=v^2.$$

Chứng minh.  Giả sử $\gcd (b,\,c)=d$, khi ấy ta viết được $b=dv$ và $c=du$. Ở đây, $u,\,v\in\mathbb N^*$ và $\gcd(u,\,v)=1$, lúc đó từ giả thiết ta sẽ có \[\frac{a}{b} =  \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{d^2}{u^2}}}{{{d^2}{v^2}}} = \frac{{{u^2}}}{{{v^2}}}.\]Do $\gcd(u,\,v)=1$, nên $\gcd\left(u^2,\,v^2\right)=1$. Như vậy, $\frac{a}{b}$ và $\frac{{{u^2}}}{{{v^2}}}$ cùng là dạng biểu diễn phân số tối giản của một số hữu tỷ, cho nên $$a=u^2,\quad b=v^2.$$

$\square$

Khẳng định trên, cũng có thể chứng minh bằng việc viết các phân tích ra thừa số nguyên tố, dựa trên định lý cơ bản của Số Học. Tuy nhiên, tôi ko thích con đường đó. Bây giờ thì, bằng thủ pháp tương tự trên, ta mở rộng vấn đề thành

Mệnh đề 2. Cho $a,\,b,\,c$ và $n$ là các số nguyên dương, thỏa mãn $\gcd (a,\,b)=1$ và $ab=c^n$. Khi đó, tồn tại các số nguyên dương $u$ và $v$ để sao cho$$a=u^n,\quad b=v^n.$$

Chứng minh.  Giả sử $\gcd (b,\,c)=d$, khi ấy ta viết được $b=dv$ và $c=dw$. Ở đây, $u,\,w\in\mathbb N^*$ và $\gcd(u,\,w)=1$, lúc đó từ giả thiết có \[\frac{a}{{{b^{n – 1}}}} = \frac{{{c^n}}}{{{b^n}}} = \frac{{{d^n}{u^n}}}{{{d^n}{w^n}}} = \frac{{{u^n}}}{{{w^n}}}.\] Do $\gcd(u,\,w)=\gcd(a,\,b)=1$, nên $\gcd\left(u^n,\,w^n\right)=\gcd\left(a,\,b^{n-1}\right)=1$. Như vậy, $\frac{a}{b^{n-1}}$ và $\frac{{{u^n}}}{{{w^n}}}$ cùng là dạng biểu diễn phân số tối giản của một số hữu tỷ, nên $$a=u^n.$$ Đến đây, do vai trò như nhau của $a$ và $b$ trong mệnh đề, nên nếu đi đổi vai trò của $a$ cho $b$, thì ta sẽ có được số nguyên dương $v$ sao cho $b=v^n$.

$\square$

Lưu ý rằng, trong các chứng minh trên, tôi sử dụng hai kiến thức căn bản sau.

Tính chất 1. Nếu $a$ và $b$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau, $m$ và $n$ là các số nguyên dương, khi đó $a^m$ và $b^n$ cũng là các số nguyên nguyên tố cùng nhau.

Tính chất này có được, nhờ để ý rằng nếu các số nguyên $a$ và $b$ cùng nguyên tố cùng nhau với số nguyên $c$ thì $ab$ cũng thế.

Tính chất 2. Dạng biểu diễn tối giản của một phân số hữu tỷ là duy nhất.

Cái tính chất này là do; nếu số nguyên dương $a$ nguyên tố cùng nhau với số nguyên dương $m$, số nguyên dương $b$ lại nguyên tố cùng nhau với số nguyên dương $n$, và $ab=mn$ thì sẽ có $n$ và $a$ là ước số của nhau, cho nên \[a=n,\quad b=m.\]Và những tính chất vừa rồi, sẽ có được từ định lý đẹp đẽ và mạnh mẽ sau đây

Định lý Bézout. Cho các số nguyên dương $a$ và $b$ có ước chung lớn nhất là $d$, khi ấy sẽ tồn tại các số nguyên dương $k$ và $l$ sao cho\[d=ka-lb.\]