Trong cái đề thi minh hoạ cho đề thi THPT QG của bộ Dục, có bài toán sau đây.

Bài toán 1. Cho $f(x)$ là một hàm liên tục trên $\mathbb R$ và thỏa mãn \[xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 – {x^2}} \right) = – {x^{10}} + {x^6} – 2x,\quad \forall {\mkern 1mu} x \in \mathbb R.\]Tính tích phân $I=\displaystyle{\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx.}}$

Chép như thế, là chưa có đầy đủ, bởi vì dưới nội dung đã nêu theo đề gốc còn 4 cái đáp án A, B, C, D cho các cháu học sinh chúng nó chọn. Mình không quan tâm cái đó, và vì tính tích phân chậm, nên cái mình quan tâm là bài toán sau.

Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm thực $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ và thỏa mãn\[xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 – {x^2}} \right) = – {x^{10}} + {x^6} – 2x,\quad \forall {\mkern 1mu} x \in \mathbb R.\]

Dưới đây, là lời giải của mình cho bài mình bịa ra để thủ dâm ở trên.

Lời giải. Đặt $f(x)+x^3-3x+2=g(x)$, đem thay vào ràng buộc ban đầu, sau rút gọn, với mỗi số thực $x$ ta sẽ có\[xg\left( {{x^3}} \right) + g\left( {1 – {x^2}} \right) = 0.\]Tất nhiên, $g(x)$ cũng liên tục trên $\mathbb R$ cho nên nó có nguyên hàm là $h(x)$ và sau khi lấy vi phân, ta sẽ có được\[{\rm d}\left( {2h\left( {{x^3}} \right) – 3h\left( {1 – {x^2}} \right)} \right) = \left( {6{x^2}g\left( {{x^3}} \right) + 6xg\left( {1 – {x^2}} \right)} \right){\rm d}x = 0.\]Như vậy, phải tồn tại hằng số $c$ để với mọi $x$ ta có\[2h\left( {{x^3}} \right) – 3h\left( {1 – {x^2}} \right) = c.\]Không mất tính tổng quát, ta có thể coi luôn $c=0$ (nếu không thì ta đi xét cái hàm $c+h(x)=H(x)$) và với mọi $x\in (0;\,1)$ ta sẽ có được \[h\left( x \right) = \frac{2}{3}h\left( \sqrt{1-x}^3 \right).\]Bây giờ lấy một số thực $a$ bất kỳ trong $(0;\,1)$, ta đi ta xét dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}$ trong đó $a_0=a$ và với mỗi số nguyên dương $n$ thì \[{a_{n + 1}} = {\sqrt {1 – {a_n}} ^3}.\]Cái dãy này, qua truy toán ta thấy nó bị chặn dưới bởi $0$ chặn trên bởi $1$, đồng thời vì $k(x)=\sqrt{1-x}^3$ là đơn điệu giảm trên $(0;\,1)$ cho nên ta sẽ có các dãy con $\left(a_{2n}\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(a_{2n+1}\right)_{n\in\mathbb N}$ đều hội tụ. Điểm tụ của các dãy số đó là các nghiệm thuộc $[0;\,1]$ của phương trình\[x =\sqrt{1-x}^3.\]Cái phương trình đó lại có nghiệm thực duy nhất trong $[0;\,1]$ là $r$, vì thế ta thấy là dãy $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ đến $r$, và ta để ý thêm là\[h\left( a \right) = h\left( {{a_0}} \right) = \frac{2}{3}h\left( {{a_1}} \right) = \ldots = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}h\left( {{a_n}} \right).\]Sự liên tục của $h$ là hệ quả của việc $h$ khả vi, nên lấy giới hạn ta có\[h\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}h\left( {{a_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } h\left( {{a_n}} \right)  = 0.\]Cùng với tính liên tục và để ý $h(x)$ là hàm chẵn, với mỗi $x\in [-1;\,1]$ ta có$$h(x)=0.$$Giả sử với số nguyên dương nào đó mà với mọi $x\in [-n;\,n]$ ta đã có $h(x)=0$ để ý rằng với mỗi số nguyên dương $n$ thì\[[0;n + 1] \subset \left[ 0;\,\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} \right] = \left\{ {{{\sqrt {1 – x} }^3}:\;x \in {\mkern 1mu} [ – n;{\mkern 1mu} 1]} \right\}.\]Cho thấy là với mỗi $t\in [0;\,n+1]$ đều sẽ phải tồn $\alpha\in [-n;\,1]$ để có thể viết được $t=\sqrt{1-\alpha}^3$ và khi ấy ta có\[0 = \frac{3}{2}h\left( \alpha \right) =  h\left( {{{\sqrt {1 – \alpha } }^3}} \right) = h\left( t \right).\]Từ đây, kết hợp với kết quả $h(x)=0$ với mọi $x\in [-1;\,1]$ ở trên, và tính chẵn của hàm $h$, qua truy toán ta có được $h(x)=0$ với mọi $x\in [-n;\,n]$ với $n$ là số nguyên dương tùy ý, cũng có nghĩa\[h(x)=0,\;\forall\,x\in\mathbb R.\]Và vì thế, $h(x)$ phải là hàm hằng. Do đó, $g(x)=0$ nó sẽ kéo theo việc chỉ có duy nhất một hàm số thỏa ràng buộc đề ra, đó là\[f(x)=-x^3+3x-2.\]
Chú ý. Thực ra thì cái hàm $k(x)$ nó co trên $(0;\,1)$, cho nên nếu dùng ý đó sẽ tàu nhanh hơn.