Ở bài viết http://maths.vn/sap-day-cac-so-huu-ty/, chúng ta biết rằng $\mathbb Q$ là một tập đếm được, nghĩa là ta có thể sắp tất cả các số hữu tỷ thành một dãy số. Tập $\mathbb Q$ lại là một tập con thực sự của tập số thực $\mathbb R$, và theo như bổ đề Cantor đã trình bày ở bài  http://maths.vn/dieu-kien-don-dieu-cua-ham-kha-vi/, thì tập hợp các số hữu tỷ “thưa thớt” hơn tập số thực. Tuy nhiên, theo như quá trình xây dựng $\mathbb R$ qua các lát cắt trên $\mathbb Q$, thì có một đặc tính rất quan trọng của $\mathbb Q$ ở trong $\mathbb R$, đó là tính trù mật, có nghĩa rằng ở mỗi khoảng mở các số thực luôn tồn tại (và tồn tại vô số) số hữu tỷ. Một tiểu xảo rất sơ cấp để nhìn rõ điều này, đó là lấy ra một số thực $\alpha$ bất kỳ, ta luôn dựng được một dãy các số hữu tỷ hội tụ về $\alpha$ (thực chất là dãy xấp xỉ dần $\alpha$ theo từng chữ số trong hệ thập phân), đó là \[{a_n} = \frac{{\left\lfloor {{{10}^n}\alpha } \right\rfloor }}{{{{10}^n}}},\;n \in \mathbb N.\]Với một mặt phẳng cho trước, chúng ta có thể vô tư đặt vào đó một hệ tọa độ trực chuẩn hai chiều, khi ấy thì mỗi điểm sẽ tương ứng với cặp tọa độ của nó là một cặp số thực. Vì sẵn có sự trù mật kể trên của $\mathbb Q$ trong $\mathbb R$, cho nên sinh ra sự trù mật của tập các điểm hữu tỷ (các điểm có tọa độ là các số hữu tỷ) ở trong mặt phẳng đang xét. Sự trù mật kiểu như này, được hiểu là ở trong mỗi hình tròn $D\left(M,\,r\right)$ tâm $M$ bán kính $r$ bất kỳ, sẽ luôn có vô số điểm hữu tỷ.

Ta sẽ sắp tất cả các số hữu tỷ thành một dãy số, khi đó theo cái song ánh ở bài toán 1 trong bài viết  http://maths.vn/tu-bai-khanh-hoa-den-bai-long-an/, thì tích Descartes của hai tập đếm được cũng phải là một tập đếm được. Cho nên, ta có cũng có thể sắp tất cả các điểm hữu tỷ thành một dãy, ký hiệu là $\left(Q_n\right)_{n\in\mathbb N}$.

Giả sử $S$ là một tập vô hạn các điểm trong mặt phẳng (đã được gắn hệ tọa độ trực chuẩn), với mỗi $M\in S$ và $n\in\mathbb N^*$, do tính trù mật nói trên nên trong các hình tròn $D\left(M,\,\frac{1}{n}\right)$ tâm $M$ bán kính $\frac{1}{n}$ luôn có vô số điểm hữu tỷ. Lấy ra một điểm như vậy, giả sử là $Q_{i}$ lúc đó thì $D\left(Q_i,\,\frac{1}{n}\right)\cap S\ne \emptyset$. Giờ nếu với mỗi hình tròn $D\left(Q_m,\,\frac{1}{n}\right)$ thỏa mãn $D\left(Q_m,\,\frac{1}{n}\right)\cap S\ne \emptyset$ ta lại lấy ra một điểm của $S$ là $M_{m,\,n}$, thì khi tập hợp tất cả các điểm đó lại thành tập $\mathfrak S$, ta có $\mathfrak S$ là một tập vô hạn đếm được các điểm thuộc $S$. Chú ý rằng, $\mathfrak S$ vô hạn vì $S$ vô hạn.

Bây giờ ta lại lấy tùy ý ra một điểm $A\in S$, lúc đó với mỗi $k\in\mathbb N^*$ thì do tính trù mật của tập các điểm hữu tỷ trong mặt phẳng, nên tồn tại điểm hữu tỷ $Q_{n_k}$ để $$A\in D\left(Q_{n_k},\,\frac{1}{k}\right) .$$ Vì $A\in S$, nên $D\left(Q_{n_k},\,\frac{1}{k}\right)\cap S\ne \emptyset$, từ đó $M_{n_k,\,k}\in D\left(Q_{n_k},\,\frac{1}{k}\right)$, do đó \[A{M_{{n_k},{\mkern 1mu} k}} \le A{Q_{{n_k}}} + {Q_{{n_k}}}{M_{{n_k},{\mkern 1mu} k}} \le \frac{2}{k}.\]Nói khác đi $M_{n_k,\,k}\in D\left(A,\,\frac{2}{k}\right)$, điều đó giúp ta có thể nói $\mathfrak S$ trù mật trong $S$.

Xét một ví dụ khi $S$ là đồ thị của một hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$, lúc đó do $S$ là vô hạn không đếm được (bổ đề Cantor), nên $S\setminus\mathfrak S$ là một tập vô hạn (không đếm được), nếu ta lấy $A\left(a,\,f(a)\right)\in S\setminus\mathfrak S$, thì theo lý lẽ ở trên sẽ tồn tại một dãy điểm $\left(P_k\right)_{k\in\mathbb N^*}$ trong $\mathfrak S$ (với $P_k=M_{n_k,\,k}$) sao cho $P_k\in D\left(A,\,\frac{2}{k}\right)$. Do $\mathfrak S\subset S$ nên ta viết $P_k\left(x_k,\,f\left(x_k\right)\right)$ với $x_k\in\mathbb R$. Lúc này, sẽ có được\[{\left( {a – {x_k}} \right)^2} + {\left( {f\left( a \right) – f\left( {{x_k}} \right)} \right)^2} \le \frac{4}{{{k^2}}}.\]Và như thế sẽ kéo theo\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = a,\quad \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } f\left( {{x_k}} \right) = f\left( a \right).\]Để ý rằng $A\notin\mathfrak S$, cho nên $x_k\ne a$ với mọi số nguyên dương $k$, kết hợp sự hội tụ của $\left(x_k\right)_{k\in\mathbb N^*}$ về $a$, ta trích được một dãy con $\left(x_{k_n}\right)_{n\in\mathbb N}$ gồm các số thực đôi một phân biệt cũng hội tụ về $a$. Từ đó, ta có khẳng định sau đây:

Với $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ là một hàm số bất kỳ, khi đó tồn tại vô số số thực $a$ cùng các dãy số $\left(\alpha_n\right)_{n\in\mathbb N}$ gồm các số thực đôi một phân biệt thỏa mãn  điều kiện\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\alpha _n} = a,\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{\alpha _n}} \right) = f\left( a \right).\]