Tích phân $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + ax + b} }}} $

Có bạn muốn trao đổi về bài toán cơ bản sau đây.

Bài toán. Cho các hằng số thực $a$ và $b$, tinh tích phân $$I=\displaystyle{\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + ax + b} }}}}.$$
Lời giải. 
Đặt $\sqrt{x^2+ax+b}=t$, ta có $t^2=x^2+ax+b$, nên lấy vi phân sẽ có\[2tdt = \left( {2x + a} \right)dx.\]Từ đây, áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, có\[\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + ax + b} }} = \frac{{d\left( {2x + a} \right)}}{{2t}} = \frac{{d\left( {2t} \right)}}{{2x + a}} = \frac{{d\left( {2x +a+ 2t } \right)}}{{2t + 2x + a}}.\]Vậy nên là ta sẽ có kết quả\[I = \ln \left| {2x + 2t + a} \right| + C = \ln \left| {2x + 2\sqrt {{x^2} + ax + b} + a} \right| + C.\]

Tags:

Reply