Hàm Phần Nguyên

You are currently browsing articles tagged Hàm Phần Nguyên.

Bài viết này, có nội dung là một số bài toán tôi sử dụng để dạy các học sinh thi VMO năm học 2018-2019. Các bài toán này, một số được tôi sáng tác mới hoặc mở rộng và làm mạnh từ các bài đã cũ.

P1. Một số nguyên dương $a$ gọi “đẹp” nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Định lý Beaty. Cho $a;\,b\in\mathbb R^+\setminus \mathbb Q$ thoả $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$, đặt $$\mathcal A=\left\{\left\lfloor an\right\rfloor:\;n\in\mathbb Z^+\right\},\;\mathcal B=\left\{\left\lfloor bn\right\rfloor:\;n\in\mathbb Z^+\right\}.$$ Khi đó\[\mathcal A\cap\mathcal B=\emptyset\;\text{và}\;\mathcal A\cup\mathcal B=\mathbb Z^+.\]
Chứng minh. Dễ thấy $\mathcal A$ và $\mathcal B$ đều là tập con của $\mathbb Z^+$, giả sử $\mathcal A\cap\mathcal B\ne\emptyset$ khi đó sẽ phải tồn tại các số nguyên dương $k;\,l;\,m$ sao cho\[\left\lfloor ka\right\rfloor=\left\lfloor lb\right\rfloor=m\]
Để ý rằng $ka;\,lb\notin\mathbb Q$ nên điều đó dẫn đến Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,