Bài này, liên quan đến một bài viết khác của tôi, vấn đề đặt ra là như thế sau

Với $\alpha=\frac{1+\sqrt 5}{2}$, xét vành $R = \left\{ {a + b\alpha :\;a,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} b \in \mathbb Z} \right\}$, ta cần đi tìm các số nguyên tố $p$ để $I(p)=\{pr:\;r\in R\}$ là một ideal nguyên tố. Nghĩa là, cần tìm $p$ sao cho cứ từ $xy\in I(p)$ thì phải có $x\in I(p)$ hoặc $y\in I(p)$.

Bởi vì $5=\left(\sqrt 5\right)^2$, và nếu đặt $
\frac{1-\sqrt 5}{2}=\beta$ thì $\beta\in R$ thêm nữa $-2\alpha\beta=2$ cho nên ta chỉ cần xét các số nguyên tố lẻ và khác $5$.

Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Tình cờ, mình nhìn thấy cái bài này trên THTT, nội dung như sau đây

Bài toán. Cho $n$ là một số nguyên dương, chứng minh rằng phải có $3^{n+1}$ bé hơn số ${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}} + {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}}$, đồng thời cái số đó sẽ chia hết cho $3$.

Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Ta sẽ làm nóng bằng một bài toán như sau:
Bài toán 1: Cho $a=\sqrt{2}+ \sqrt[3]{3}$.
Có tồn tại đa thức $f\in \mathbb{Q}[x]$ sao cho $f(a)=\sqrt{2}$?
Lời giải: Câu trả lời là có.
Thật vậy, $a- \sqrt{2}= \sqrt[3]{3}$. Lập phương hai vế ta được:
\[3=(a-\sqrt{2})^3=a^3-3\sqrt{2}a^2+6a-2\sqrt{2} \] Từ đó ta có $\sqrt{2}=\dfrac{a^3+6a-3}{3a^2+2}$
Mặt khác, ta dễ kiểm tra \[g(x)=(x^3+6x-3)^2-2(3x^2+2)^2=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1\] là đa thức tối tiểu của $a$.
Đặt $h(x)=3x^2+2$. Ta thấy ngay $f$ và $g$ nguyên tố cùng nhau.
Giờ ta áp dụng [1] để tìm đa thức $p,q\in\mathbb{Q}$ sao cho: (chỗ này mình lười tính quá)
\[ph+qg=c\in\mathbb{Q}\] Khi đó $p(a)h(a)=c$ nên $\sqrt{2}=\dfrac{a^3+6a-3}{3a^2+2}=\frac{1}{c}(a^3+6a-3).p(a)$
Do đó $f(x)= \frac{1}{c}(x^3+6x-3).p(x)$

Read the rest of this entry »

Cho vành Euclid $A$ và $f,g\in A$ khác $0$. Khi đó tồn tại $d\in A$ sao cho $(f)+(g)=(d)$, ta gọi $d$ là một ước chung lớn nhất của $f,g$, theo đó tồn tại $a,b\in A$ nguyên tố cùng nhau sao cho:
\[af+bg=d\] Ta đã biết rằng trên vành Euclid, ta có thể tìm ước chung lớn nhất dựa trên thuật chia Euclid, nhưng việc tìm hai số $a,b$ để $af+bg=d$ không hiển nhiên chút nào. Bài viết này đi tìm một thuật toán giải quyết bài toán trên cho trường hợp vành số nguyên $\mathbb{Z}$

Ta thống nhất phép chia dư trong bài viết như sau: Với hai số nguyên $a,b$ khác $0$ bất kì, tồn tại duy nhất cặp số nguyên $q,r$ thỏa mãn $0\le r\le |b|$ sao cho $a=bq+r$
Cho hai số nguyên $f,g$ khác $0$. Dùng thuật chia Euclid, ta tìm được ước chung lớn nhất $d$ của chúng là một số tự nhiên.

Read the rest of this entry »

Có 3 định lí đồng cấu nhóm cơ bản, ở bài viết này chúng ta quan tâm đến việc mở rộng định lí đồng cấu thứ 2, từ đó áp dụng chứng minh bổ đề Zassenhaus. Ngoài ra ta cũng bàn về nhóm con chuẩn tắc và tính giao hoán.

Cho $(G,.)$ là một nhóm. Nhắc lại rằng $H$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$ nếu $H$ là nhóm con và $xH=Hx$ với mọi $x\in G$.
Nói cách khác $H$ giao hoán với bất kì phần tử nào của $G$, do đó $H$ giao hoán với bất kì tập con nào của $G$. Từ ý tưởng đó ta có mệnh đề sau:

Read the rest of this entry »

Phần 1 về phân loại nhóm hữu hạn ở http://maths.vn/phan-loai-nhom-huu-han/
Bài viết này chúng ta sẽ bàn về ứng dụng của những lý thuyết ta xây dựng ở phần trước vào chứng minh định lí Sylow cho nhóm giao hoán

Định lí Sylow thứ nhất: Cho $(G,+)$ là nhóm Abel với $|G|=p^r.m$ với $p$ là số nguyên tố,$r\ge 1$ và $(m,p)=1$. Khi đó tồn tại một nhóm con $H$ của $G$ có cấp $p^r$ và ta gọi đó là $p$-nhóm con Sylow của $G$.

Read the rest of this entry »

Một trong những bài toán kinh điển nhất khi nghiên cứu các cấu trúc đại số là phân loại chúng, nghiên cứu xem với điều kiện gì thì hai cấu trúc như vậy đẳng cấu với nhau. Ta có thể làm điều này với các nhóm Abel hữu hạn bằng việc xét chúng như các module trên miền chính ($\mathbb{Z}$-module). Bài viết dựa trên chương 12 của [1].

I. Phân loại module hữu hạn sinh trên miền chính
Cho $A$ là miền chính ( vành mà mọi ideal đều sinh bởi 1 phần tử ).
Nói chung việc phân loại module tổng quát rất khó vì ta không có gì để đối chiếu chúng. Bài toán phân loại sẽ dễ dàng hơn khi ta xét trên module tự do, đặc biệt trên miền chính ta có một kết quả rất mạnh tương tự như với không gian véc tơ: module của một module tự do cũng là module tự do.

Read the rest of this entry »

Tập số thực $\mathbb R$ vốn được định nghĩa rất chặt chẽ qua các lát cắt hữu tỷ, từ khái niệm đó ta có định lý của Dedekind và sinh ra tự nhiên nguyên lý inf-sup. Chỉ có điều rất trái khoáy, là sgk lại không trình bày nền tảng Giải Tích theo lối đó, họ trình bày khái niệm giới hạn theo trình tự: mô tả giới hạn của dãy hội tụ về 0, sau đó đưa ra khái niệm dãy $\left(s_n\right)$ hội tụ về một số thực $l$ nhờ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left({s_n} -l\right)=0$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Bài toán sau, có thể coi là một mở rộng của định lý Wilson.

Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố, thỏa mãn $p-3$ chia hết cho $8$. Gọi $S$ là tập tất cả các số ở dạng $a+b\sqrt 2$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên không âm nhỏ hơn $p$ và không đồng thời bằng $0$. Giả sử tích tất cả các phần tử của $S$ viết được dưới dạng $m+n\sqrt 2$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên. Tìm số dư của $m$ và $n$ khi đem chia cho $p$. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Ta đã tiếp cận nhiều bài toán cấp 2, được cho ở dạng chứng minh một biểu thức đối xứng nào đó là số hữu tỉ, ví dụ như:

Bài toán 1: Chứng minh rằng: $a^4+b^4$ là số hữu tỉ với $a=1+\sqrt{5}$ và $b=1-\sqrt{5}$

Bài toán 2: Chứng minh rằng: $a^3b+b^4$ không là số hữu tỉ với $a=1+\sqrt{5}$ và $b=1-\sqrt{5}$

Nhận thấy ngay rằng $a,b$ ở trên đều là nghiệm vô tỉ của đa thức hữu tỉ nào đó.
Vậy thì tại sao khi biểu thức của các nghiệm là đối xứng thì nó là hữu tỉ?
Liệu trường hợp biểu thức đó không đối xứng thì có phải nó luôn vô tỉ không? Nếu không thì khi nào nó xảy ra? Read the rest of this entry »

Ở bài viết http://maths.vn/sap-day-cac-so-huu-ty/, chúng ta biết rằng $\mathbb Q$ là một tập đếm được, nghĩa là ta có thể sắp tất cả các số hữu tỷ thành một dãy số. Tập $\mathbb Q$ lại là một tập con thực sự của tập số thực $\mathbb R$, và theo như bổ đề Cantor đã trình bày ở bài  http://maths.vn/dieu-kien-don-dieu-cua-ham-kha-vi/, thì tập hợp các số hữu tỷ “thưa thớt” hơn tập số thực. Tuy nhiên, theo như quá trình xây dựng $\mathbb R$ qua các lát cắt trên $\mathbb Q$, thì có một đặc tính rất quan trọng của $\mathbb Q$ ở trong Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Tình cờ gặp bài toán sau.

Bài toán. Cho dãy số $\left(x_n\right)_{n\in\mathbb N}$ trong đó $x_0=1,\,x_1=3$ và với số tự nhiên $n$ bất kỳ, ta luôn có ${x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} – {x_n}$. Chứng minh rằng, nếu $k$ là số nguyên dương và $p$ là ước nguyên tố của $x_{2^k}$ thỏa mãn $p\equiv 1\pmod 4$, thì $2^{k+2}\mid (p-1)$. Read the rest of this entry »

Tags: ,

« Older entries § Newer entries »