Câu hỏi: Khi nào 2 nhóm $(A,B)$ thỏa mãn tồn tại $f$ để $(A,B)=(Kerf,Imf)$.

 Để trả lời câu hỏi này,chúng ta xây dựng nên nhóm con chuẩn tắc,nhóm thương ,cũng như chỉ ra sự quan hệ giữa đồng cấu với hạt nhân và ảnh của một đồng cấu, qua đó là góc nhìn quan hệ nhóm con chuẩn tắc dưới dạng đồng cấu nhóm
I.Mở đầu
-Khái niệm về nhóm,nhóm con và khái niệm cơ bản về đồng cấu,các loại đồng cấu trong [1]
-Cho nhóm $G$,kí hiệu $e_G$ là phần tử đơn vị của $G$
-Cho $f:G \rightarrow H$ là một đồng cấu:

* Hạt nhân của $f$:$Kerf=\{a\in G|f(a)=e_H\}$
* Ảnh của $f$:$Imf=\{b\in H|\exists b \in H:f(a)=b\}$

II.Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương
1.Những quan sát ban đầu
 Chú ý:Cho nhóm $G$, các đồng cấu ở mục này nếu khoogn nói gì thêm đều xuất phát từ $G$

 Câu hỏi đặt ra(?):Mỗi đồng cấu cho ta một bộ $(Kerf,Imf)$,vậy khi nào thì một bộ nhóm $(A,B)$ sẽ là $(Kerf,Imf)$ với $f$ là một đồng cấu nào đó?

 Định lí 1: $Kerf,Imf$ đều là nhóm
 Chứng minh. Do với mọi $a,b \in Kerf$,$f(a^{-1}b)=f(a^{-1})f(b)=e_H$ nên $a^{-1}b \in Kerf \forall a,b \in Kerf$ nên $Kerf$ là 1 nhóm.

Tương tự $Imf$ là một nhóm

Việc trả lời câu hỏi tồn tại $f$ để $B=Imf$ bế tắc(điều này tác giả sẽ giải thích sau).Ta quan tâm khi nào tồn tại $f$ để $A=Kerf$
Định nghĩa 1: Các nhóm $A$ là nhóm con của $G$ thỏa $\exists f:A=Ker f$ là các nhóm con chuẩn tắc của $G$.Kí hiệu:$A\mathrel{\unlhd} G$

Ví dụ 1: Xét đồng cấu $f:G \rightarrow H=\{e_G\}$,khi đó $H=Ker f$ nên $H\mathrel{\unlhd}G$
Ví dụ 2:$n\mathbb{Z} \mathrel{\unlhd} \mathbb{Z}$ vì $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ là 1 đồng cấu thỏa mãn $Kerf=n\mathbb{Z}$
Ta để ý vai trò của $Ker f$ như sau:
Nhận xét 1: Cho trước phần tử $x\in G$,$f(a)=f(x) \Leftrightarrow ax^{-1}\in Kerf$ hay $a \in xKerf$ với $xKerf=\{xk|k\in Kerf\}$

Từ nhận xét trên,ta nhận thấy:
+Có sự liên quan giữa $f$ và $Kerf$
+$Imf=\{f(a_1),f(a_2),…\}$ tương ứng với $\{a_1Kerf,a_2Kerf,…\}$
Từ đây đặt ra vấn đề về các tính chất của $xKerf$
2.Lớp ghép trái của nhóm con
Cho $H \le G$
Định nghĩa 2:$\forall x \in G$:$xH=\{xh|h\in H\}$ là 1 lớp ghép trái của $H$

Định lí 2:$|xH|=|H|$

Chứng minh. Do $f:H \rightarrow xH,h\rightarrow xh$ là 1 song ánh

Tương tự như nhận xét ở mục 1,ta có:
Định lí 3:
* $b \in aH \Leftrightarrow a^{-1}b \in H$
* $aH \cap bH\ne \notin \Leftrightarrow a^{-1}b \in H $
* $aH = bH \Leftrightarrow a^{-1}b \in H $
Chứng minh.
* $b\in aH\Leftrightarrow \exists h\in H:b=ah\Leftrightarrow a^{-1}b=h\in H$
* $aH\cap bH\ne \varnothing \Leftrightarrow \exists h,k\in H:ah=bk\Leftrightarrow a^{-1}b=hk^{-1}\in H$
* $aH=bH\rightarrow \exists h,k\in H:ah=bk\rightarrow a^{-1}b\in H$\\$a^{-1}b\in H\rightarrow \exists h\in H:a^{-1}b=h\rightarrow b=ah\rightarrow bH=ahH=aH$

Định lí 4:$H \leq G$,khi đó ta có thể phân hoạch $G$ thành các lớp trái của $H$:

$G=h_1H\cup ~h_2H\cup…$

Chứng minh.
Xét thuật toán sau:Ở bước này,ta lấy 1 phần tử $a$ bất kì của $G$,nếu phần tử đó đã thuộc 1 lớp ghép trái của $H$ ở các bước trước thì ta bỏ qua,nếu phần tử đó chưa thuộc lớp trái nào của $H$ ở bước trước thì ta thêm lớp $aH$ vào.Theo Định lí 2,$aH$ giao khác rỗng với tất cả các lớp trái ở bước trước.

Định nghĩa 3: Tập thương của $G$ với $H$,kí hiệu là $G:H$ với $G:H=\{aH|a\in G\}$

Nhận xét: $G:H=\{h_1H,h_2H,…\}$ với $h_1H,h_2H,…$ là các lớp phân hoạch $G$ trong định lí 2.4.\\Ngoài ra,ta có thể thay $h_1H$ bởi phần tử $aH$ bất kì mà $h_1^{-1}a\in H$,nhưng ta chỉ cần chọn $h_1$ mang tính “tượng trưng” cho cả lớp đó.
Định lí 5: Nếu nhóm $G$ có cấp hữu hạn,$H\leq G$ thì $|G:H|=\frac{|G|}{|H|}$

Chứng minh.  Áp dụng định lí 2 và định lí 4 .

3. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương:
Ta quay lại (?),ta thấy rằng tập $G:H$ nếu lập thành 1 nhóm có đơn vị là $H$ và qua phép chiếu chính tắc $v:G\rightarrow G:H,x\rightarrow xH$ là 1 đồng cấu nhóm,thì $Kerv=H$ do $aH=H\Leftrightarrow a\in H$
Điều này đặt ra các vấn đề sau:
i)$G:H$ là một nhóm,với phép toán $”*”$ thỏa:$v(a)*v(b)=v(ab )$ hay $aH*bH=abH$
ii)$H$ là đơn vị của nhóm $G:H$
Ta thấy rằng nếu i) thỏa mãn thì ii) cũng thỏa mãn
Nhận xét: $x\in Kerf:f(axa^{-1})=f(a)f(x)f(a^{-1})=f(a)f(a^{-1})=e_{Imf}$ nên $axa^{-1}\in Kerf \forall a\in G \rightarrow aKerfa^{-1}=Kerf$ hay $aKerf=Kerfa$

Định nghĩa 4: $M.N=\{m.n|m\in M,n\in N\}$
Định lí 6: $H \leq G$,khi đó $H.H=H$
Chứng minh. $e.H\supset H.H$ nên $H\supset H.H$ và do $H$ là một nhóm nên $H.H \supset H$,do vậy $H.H=H$

Dựa vào nhận xét trên,ta mạnh dạn dự đoán $Ha=aH \forall a\in G$ với phép toán $”*”$ chính là phép toán của nhóm $G$.Thật vậy:$\forall a,b\in G:aH.bH=Ha.bH=H.ab.H=abHH=abH$ và $aH.H=H.aH=aH$ nên dự đoán của ta là đúng!
Định lí 7: Cho $H \leq G$,khi đó 2 điều sau đây tương đương:
i)$H\mathrel{\unlhd} G$
ii)$Ha=aH \forall a\in G$
Chứng minh. $H \mathrel{\unlhd} G$ nên tồn tại $f:G \rightarrow Imf$ là 1 đồng cấu mà $H=Kerf$,khi đó theo Nhận xét trên thì $aKerf=Kerfa\forall a\in G$ hay $aH=Ha\forall a\in G$
$Ha=aH \forall a\in G$ thì $G:H$ sẽ lập thành 1 nhóm,xét phép chiếu chuẩn tắc:$v:G\rightarrow G:H$ và có $H=Kerv$ nên $H \mathrel{\unlhd} G$

Định nghĩa 5: Khi $H\mathrel{\unlhd} G$ thì $G:H$ lập thành một nhóm,gọi à nhóm thương của $G$ với $H$,kí hiệu $G/H$

Ví dụ 3: Xét VD1,ta có $H=\{e_G\}$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$,khi đó $aH=Ha\forall a\in G$ và $G/H=G$
Ví dụ 4: Xét VD2:$n\mathbb{Z}\mathrel{\unlhd} \mathbb{Z}$,khi đó $a+n\mathbb{Z}=n\mathbb{Z}+a$ và $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=Z_n$
Định lí 8: Cho $G$ là một nhóm Abel,khi đó mọi nhóm con của $G$ đều là nhóm con chuẩn tắc
Chứng minh. $G$ là nhóm Abel nên $\forall H\leq G:aH=Ha \forall a\in G$
III. Câu hỏi đến hồi kết?
Vậy là ta đã trả lời xong (?) với $A$,ta sẽ tiếp tục tìm hiểu khi nào thì tồn tại $f$ để $B=Imf$.Từ quan sát ở Ví dụ 4,ta thấy trúc các lớp ghép của $Kerf$ có cấu tạo khá giống $Imf$
Định lí 8: Cho $f:G\rightarrow H$ là 1 đồng cấu,khi đó:$G/Kerf=Imf$
Chứng minh. Xét $v:G\rightarrow G/Kerf,a\rightarrow aKerf$ là 1 phép chiếu chính tắc
Ta xét $\phi:G/Kerf\rightarrow Imf,aKerf\rightarrow f(a)$
$\phi$ xác định và đơn cấu vì:$aKerf=bKerf\Leftrightarrow ab^{-1}\in Kerf\Leftrightarrow f(a)=f(b)$
Hiển nhiên $\phi$ cũng là toàn cấu,do đó $\phi$ là 1 đẳng cấu nên:$G/ Kerf\cong Imf$
\end{proof}
Ở chiều ngược lại ta trả lời câu hỏi đã đặt ra:
Định lí 9:Cho $(A,B)$ là 2 nhóm thỏa mãn:
* $A\mathrel{\unlhd} G$
* $B\cong G/ A$
Khi đó tồn tại đồng cấu $f$ sao cho $(A,B)=(Kerf,Imf)$
Chứng minh.
Xét đồng cấu $f:G\rightarrow G/A$
Khi đó $A=Kerf$ và $G/A\cong Imf$ nên $G/A \cong B$

Như vậy ta đã trả lời được (?),chính câu hỏi trên đã xây dựng nên nhóm con chuẩn tắc,nhóm thương cũng như xác lập các quan hệ giữa ảnh và hạt nhân của một đồng cấu
IV. Nguồn tham khảo
[1]Nguyễn Minh Đức:”Khái niệm và tính chất của nhóm”
[2] Joseph J.Rotman:”An Introduction to the Theory of Groups”

[3]Nguyễn Viết Đông:”Đại số đại cương”

[4]Nguyễn Hữu Việt Hưng:”Đại số đại cương”
[5]Evan Chen:”An infinitive large napkin”