You are currently browsing the archive for the Giải Tích category.
Trong đề thi chọn đội VMO của Khánh Hòa, có bài toán sau đây
Bài toán 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho \[n = a + \frac{{\left( {a + b – 1} \right)\left( {a + b – 2} \right)}}{2}.\]
Bài toán này, nhìn bề ngoài rõ ràng là một bài Số Học, và ta cũng có những lời giải thuần Số Học cho nó. Read the rest of this entry »
Cho $\mathbb I$ là một gian trên $\mathbb R$, một hàm $f:\,\mathbb I\to\mathbb R$ gọi là lồi trên $\mathbb I$ nếu và chỉ nếu với các số $a,\,b\in\mathbb I$ bất kỳ và $k\in (0;\,1)$ tùy ý, ta luôn có được bất đẳng thức sau\[f\left( {ka + \left( {1 – k} \right)b} \right) \le kf\left( a \right) + \left( {1 – k} \right)f\left( b \right).\] Bài viết này, có mục đích là chứng minh định lý sau đây
Định lý 1. Cho $\mathbb I$ là một khoảng mở của đường thẳng thực và hàm số $f:\,\mathbb I\to\mathbb R$ lồi trên $\mathbb I$, khi đó $f(x)$ là một hàm số liên tục trên $\mathbb I$. Read the rest of this entry »
Tags: Đạo Hàm, Giải Tích, Giới Hạn, Hàm Đơn Điệu, Hàm Lồi, Tính Liên Tục
Tập số thực có sự sắp tự hoàn chỉnh, nếu lấy mỗi số thực $r$ ra và đem so sánh với số $0$, thì có đúng ba trạng thái hệt như giới tính con người, đó là
Với một đại lượng biến thiên $E$, khi đó có thể là $E$ bất biến dấu, không đổi dấu hoặc đổi dấu lung tung.. Nếu chúng ta lấy ra hai biểu thức chứa biến $x,\,y,\,..$ là $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$, ta sẽ nói $A$ và $A’$ tương đương về dấu trên miền $D$ nếu cứ với mỗi bộ $(x,\,y,\,..)\in D$ bất kỳ thì trạng thái dấu của $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$ là như nhau. Cụ thể là, tại mỗi bộ $(x,\,y,\,..)\in D$ bất kỳ thì $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$ hoặc cùng bằng $0$ hoặc cùng dương, hoặc cùng âm. Ở phạm vi vài viết này, nếu $A$ và $A’$ tương đương về dấu trên $D$, tôi sẽ sử dụng ký hiệu\[A\mathop \sim\limits_D A’.\] Read the rest of this entry »
Tags: Hàm Đơn Điệu, Phương Trình, Phương Trình Hàm
Ở IMO 2006, có bài đa thức như này
Bài toán N4 IMO 2006. Cho $P(x)$ là một đa thức hệ số nguyên có bậc $n$ với $n>1$, với mỗi số nguyên dương $k$ ta ký hiệu $
P_k(x)=\underbrace{P(P(\ldots(P(x) \ldots))}_{k\; \text{lần}\;P}
$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$, luôn có không quá $n$ nghiệm nguyên phân biệt của phương trình $P_k(x)=x$.
Hôm nay, đem dạy bài này cho một đội để thị phạm cách chui vào bụi rậm rồi chui ra.. Cuối cùng xuất được cái lời giải sau 😀 Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đồ Thị Hàm Số, Nghiệm
Do cần tìm một phản ví dụ cho một phát biểu của một bạn giáo viên về tính đơn điệu của hàm khả vi, tôi đã tự đặt ra bài toán sau
Bài toán. Tồn tại hay không hàm số $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ có đạo hàm trên $\mathbb R$, thỏa mãn\[\left\{ {f’\left( x \right):\:x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q} \right\} = \left\{ 0 \right\},\;\;\,\left\{ {f’\left( x \right):\:x \in \mathbb Q} \right\} \subset {\left(0;\,+\infty\right) }?\] Read the rest of this entry »
Tags: Đạo Hàm, Giải Tích, IVP, Tính Đếm Được
Chúng ta quan tâm đến khẳng định sau.
Mệnh đề 1. Cho $\mathbb I$ là một gian $\mathbb R$, hàm $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb I$. Giả sử với mỗi số thực $x\in\mathbb I$, ta đều có $f'(x)\ge 0$ và tồn tại một dãy số chứa tất cả các nghiệm của phương trình $f'(x)=0$. Khi đó, $f(x)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb R$. Read the rest of this entry »
Tags: Đạo Hàm, Dãy Số, Giải Tích, Tính Đếm Được, Tính Đơn Điệu
Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai đa thức hệ số thực, chúng ta quan tâm đến vấn đề là khi nào hàm số $h:\,\mathbb R\to\mathbb R$ với quy tắc tương ứng $h(x)=f(g(x))$ sẽ là một hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Rõ ràng, khi $f(x)$ hoặc $g(x)$ là hàm hằng thì $h(x)$ cũng là hàm hằng, do đó ta chỉ quan tâm đền tình huống $\deg f,\,\deg g>0$.
Do $\deg h=\deg f.\deg g$, và nếu $\deg h$ là một số nguyên dương chẵn thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } h\left( x \right) = + \infty .\]Từ đây thấy rõ ràng là khi một trong hai đa thức $f(x)$ hoặc $g(x)$ có bậc chẵn, thì $h(x)$ không thể là hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Cũng để ý rằng, nếu $f(g(x))$ là nghịch biến, thì $-f(g(x))$ là hàm đồng biến, thêm nữa là nếu $f(g(x))$ là hàm đồng biến thì sau việc lấy giới hạn ra vô cực, ta thấy là hệ số ứng với bậc cao nhất của nó phải cùng dấu, mà hệ số này lại cùng dấu với tích của hai hệ số ứng với bậc cao nhất của $f(x)$ và $g(x)$ (do $\deg f,\,\deg g$ đều lẻ). Vì lẽ đó, ta chỉ cần quan tâm đến câu hỏi sau Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đạo Hàm, Tính Đơn Điệu
Chúng ta bàn đến việc phá các căn ở dạng $\sqrt{x^2+k}$, với $k$ là một hằng số khác $0$. Trước tiên là một hoàn cảnh như sau.
Bài toán 1. Tính tích phân $I=\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+1}}$.
Read the rest of this entry »
Tags: Đại Số, Phương Trình, Tích Phân
Đưa ra bài toán sau, như một ví dụ về tư tưởng Counting In Two Ways ngay trong một bài toán không rời rạc.
Bài toán. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn điều kiện$$x^{2019}-x f(x)-f(x)^{2019}=1, \quad \forall x \in[0 ; 1].$$Tính tích phân $I=\int_{0}^{1}(x+f(x))^{2} \mathrm{d} x$. Read the rest of this entry »
Tags: Counting In Two Ways, Giải Tích, Thể Tích, Tích Phân
Bài toán. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $s_n$ là số cặp số nguyên $(x,\,y)$ thỏa mãn \[x^2+y^2\le n^2.\]Ở đây, nếu $a\ne b$ thì hai cặp $(a,\,b)$ và $(b,\,a)$ gọi là khác nhau, tính $\lim\dfrac{\sqrt{s_n}}{n}$. Read the rest of this entry »
Tags: Điểm Nguyên, Giới Hạn, Tích Phân
Bài toán. Cho đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$.
Tags: Đa Thức, Đại Số, Nhị Thức Newton
Cho hàm số $f:\;\mathbb R\to\mathbb R^+$ liên tục và thỏa mãn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0.\]
Tags: Dãy Số, Giới Hạn, Tính Liên Tục
Phản Hồi