Bài toán tính tích phân

17/06/2019 in Giải Tích by Mr 2M | No comments

Đưa ra bài toán sau, như một ví dụ về tư tưởng Counting In Two Ways ngay trong một bài toán không rời rạc.

Bài toán. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn điều kiện$$x^{2019}-x f(x)-f(x)^{2019}=1, \quad \forall x \in[0 ; 1].$$Tính tích phân $I=\int_{0}^{1}(x+f(x))^{2} \mathrm{d} x$.

Lời giải. Đặt $-f(x)=h(x)$, ta có ràng buộc là $$x^{2019}+x h(x)+f(x)^{2019}=1, \quad \forall x \in[0 ; 1].$$ Với mỗi tham số $m\in [0;\,1]$, thì do đa thức $P_m(x)=x^{2019}+mx+m^{2019}$ tăng ngặt, đồng thời $P(0)P(1)\le 0$, cho nên luôn tồn tại duy nhất nghiệm $x_m$ của $P_m(x)$, đồng thời $x_m\in [0;\,1]$.

Như vậy, tồn tại hàm liên tục $h(x)$ thỏa yêu cầu và dDo là ràng buộc đối xứng, cho nên có ngay $h(h(x))=x,\;\forall\,x\in [0,\;\,1]$. Xét vật tròn xoay sinh bởi quay $(H)$ giới hạn bởi $h(x)$ và hai đường thẳng $\left(d_0\right):\,x=0,\;\left(d_1\right):\,x=1$ quanh $(Ox)$, ta có thể tích vật là\[V = \pi \int\limits_0^1 {h{{\left( x \right)}^2}{\rm{d}}x.} \]Cũng do tính đối xứng nên\[V = 2\pi \int\limits_0^1 {xh\left( x \right){\rm{d}}x.} \]Từ đó mà ta có $\int\limits_0^1 {h\left( x \right)^2{\rm{d}}x}=\int\limits_0^1 {xh\left( x \right){\rm{d}}x} $, cho nên\[\begin{array}{l}
I &= \int\limits_0^1 {{{\left( {x – h\left( x \right)} \right)}^2}{\rm{d}}x = } \int\limits_0^1 {{x^2}{\rm{d}}x – 2} \int\limits_0^1 {xh\left( x \right){\rm{d}}x + } \int\limits_0^1 {h{{\left( x \right)}^2}{\rm{d}}x} \\
&= \int\limits_0^1 {{x^2}{\rm{d}}x = \frac{1}{3}.}
\end{array}\]

 

 

 

 

 

 

 

 

Tags: , , ,

Reply