Bài toán Dãy số nguyên $\left( {{x_n}} \right)$, thỏa $0\le x_0<x_1\le 100$ và\[{x_{n + 2}} = 7{x_{n+1}} – {x_n} + 280,\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]

1. Với $x_0=2,\,x_1=3$, chứng minh rằng tổng các ước số dương của $x_{n}x_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+2018$ là bội số của $24$.
2. Tìm các cặp $\left(x_0,\,x_1\right)$ sao cho $x_nx_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số tự nhiên $n$.

Lời giải. 

1. Ta có các đồng dư sau với mỗi số tự nhiên $n$\[\begin{array}{l}
   {x_{n + 2}} \equiv – \left( {{x_{n + 1}} + {x_n}} \right)\;\;\;{\kern 1pt} \left( {\bmod 8} \right),\\
   {x_{n + 2}} \equiv {x_{n + 1}} – {x_n} + 1\;\;\;{\kern 1pt} \left( {\bmod 3} \right).
   \end{array}\]
   Từ đây, khảo sát số dư của dãy khi chia $8$ và chia $3$, qua phép truy toán ta được $x_n$ chia cho $3$ dư $2$ nếu $n$ chẵn và $x_n$ chia $3$ dư $0$ nếu $n$ lẻ. Đồng thời, $x_n$ chia cho $8$ dư $2$ nếu $3\mid n$, và khi $3\nmid n$ thì $x_n$ chia $8$ dư $2$. Cho nên có\[\begin{array}{l}
   {M_n} &= {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_{n + 2}} + {x_{n + 2}}{x_{n + 3}} + 2018\\
   &\equiv {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_n} + {x_n}{x_{n + 1}} + 2018\\
   &\equiv – 1\;\;\;\left( {\,\bmod \,3} \right).
   \end{array}\]Trong ba số nguyên liên tiếp, sẽ có duy nhất một số chia hết cho $3$, nên\[\begin{array}{l}
   {M_n} &= {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_{n + 2}} + {x_{n + 2}}{x_{n + 3}} + 2018\\
   & \equiv {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_n} + {x_{n + 2}}{x_n} + 2018\\
   &\equiv 2\times 3+3\times 3+3\times 2+2018\\
   & \equiv – 1\;\;\;\left( {\,\bmod \,8} \right).
   \end{array}\]Tổng hợp lại ta sẽ có\[{M_n} = {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_{n + 2}} + {x_{n + 2}}{x_{n + 3}} + 2018 \equiv – 1\;\;\;{\kern 1pt} \left( {\bmod 24} \right).\]Do $M_n\equiv -1\pmod 3$, nên $M_n$ không thể là số chính phương, và ta viết tổng các ước số dương của $M_n$ thành\[\sigma = \sum\limits_{d} {\left( {d + \frac{{{M_n}}}{d}} \right)} .\]Trong đó, $d$ chạy khắp các ước dương của $M_n$ nhỏ hơn $\sqrt{M_n}$. Để ý là nếu $d\mid M_n$ thì $d$ lẻ và $3\nmid d$, cho nên từ $M_n\equiv -1\pmod{24}$ có\[\begin{array}{l} d + \frac{{{M_n}}}{d} = \frac{{{d^2} + {M_n}}}{d} \equiv 0\;\;\;{\kern 1pt} \left( {\bmod 3} \right),\\d + \frac{{{M_n}}}{d} = \frac{{{d^2} + {M_n}}}{d} \equiv 0\;\;\;{\kern 1pt} \left( {\bmod 8} \right).\end{array}\]Từ đó lấy tổng lại là có$$24\mid\sigma .$$
2. Giả sử, $x_0,\,x_1$ là các số thỏa yêu cầu, ta có đẳng thức sau\[{x_{n + 3}} – 7{x_{n + 2}} + {x_{n + 1}} = {x_{n + 2}} – 7{x_{n + 1}} + {x_n},\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Từ đó, nếu với mỗi $n\in\mathbb N$ đặt $x_{n+2}-9x_{x_n+1}-x_n=a_n$, thế thì có\[{a_{n + 1}} = – {a_n} – 18{x_{n + 1}},\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Bình phương hai vế ta có\[\begin{array}{l}a_{n + 1}^2 – 36{x_{n + 2}}{x_{n + 1}} &= a_n^2 + 36{a_n}{x_{n + 1}} + {18^2}x_{n + 1}^2 – 36{x_{n + 2}}{x_{n + 1}}\\&= a_n^2 + 36\left( {{x_{n + 2}} – 9{x_{n + 1}} – {x_n}} \right)x_{n+1} + {18^2}x_{n + 1}^2 – 36{x_{n + 2}}{x_{n + 1}}\\&= a_n^2 – 36{x_{n + 1}}{x_n}.\end{array}\]Như vậy, $a_n^2-36x_{n+1}x_n$ là dãy hằng, và ta có\[\begin{array}{l}
   a_n^2 – 36{x_{n + 1}}{x_n} &= {a_0}^2 – 36{x_1}{x_0}\\
   &= {\left( {{x_2} – 9{x_1} – {x_0}} \right)^2} – 36{x_1}{x_0}\\
   &= {\left( {7{x_1} – {x_0} +280- 9{x_1} – {x_0}} \right)^2} – 36{x_1}{x_0}\\
   &= {\left( {280 – 2{x_1} – 2{x_0}} \right)^2} – 36{x_1}{x_0}.
   \end{array}\]Từ đó mà có được\[36\left( {{x_n}{x_{n + 1}} + 2019} \right) = a_n^2 – D.\]Trong đó, $D= {\left( {280 – 2{x_1} – 2{x_0}} \right)^2} – 36{x_1}{x_0}-36\times 2019$, đó là một hằng số và nếu ta kết hợp với việc $\lim x_nx_{n+1}=+\infty$ kéo theo $\lim \left| {{a_n}} \right|=+\infty$ thế thì với $n$ đủ lớn, sẽ xảy ra bất đẳng thức $$2\left| {{a_n}} \right| + 1 > – D > – 2\left| {{a_n}} \right| + 1,$$ nó dẫn đến\[{\left( {\left| {{a_n}} \right| + 1} \right)^2} > a_n^2 – D > {\left( {\left| {{a_n}} \right| – 1} \right)^2}.\]Vì $a_n^2 – D$ là số chính phương với $n$ lớn thỏa thích, thế nên $D=0$, tức là có\[{\left( {140 – {x_1} – {x_0}} \right)^2} = 9\left( {2019 + {x_1}{x_0}} \right).\]Giờ để ý $0\le x_0<x_1\le 100$, để có đánh giá sau\[2019 + {x_0}{x_1} = \frac{{{{\left( {140 – {x_1} – {x_0}} \right)}^2}}}{9} < 2178.\]Do $2019 + {x_0}{x_1}$ là số chính phương nằm giữa $2019$ và $2178$, nên có hai khả năng sau.-Nếu $2019 + {x_0}{x_1}=46^2$, khi đó $x_0x_1=97$ và $x_0+x_1=2$, nên không xảy ra tình huống này.

   -Nếu $2019 + {x_0}{x_1}=45^2$, khi đó $x_0x_1=6$ và $x_0+x_1=5$. Từ đây, $x_0=2$ và $x_1=3$.

   Vậy, tất cả các cặp cần tìm là \[\left( {{x_0},{\mkern 1mu} {x_1}} \right) = \left( {2,\,3} \right).\]

File pdf