Trong Shortlist IMO 2001 có bài toán

Bài toán. Cho số nguyên tố $p$ lớn hơn $5$, chứng minh rằng có một phần tử $a$ của nhóm các ước của đơn vị mod $p$ (tức là $a\in\mathcal U_p=\{1,\,2,\,\ldots ,\,p-1\}$), sao cho\[{v_p}\left( {{a^{p – 1}} – 1} \right) = {v_p}\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^{p – 1}} – 1} \right) = 1.\]Đây là một bài toán có lời giải dùng đến thương đồng dư khá thú vị, như sau

Lời giải. Đặt $S = \left\{ {a \in {{\cal U}_p}:\;\;p\nmid {{{\cal F}_p}\left( a \right)}} \right\}$, bản chất bài toán quy về chứng tỏ là có $a\in\mathcal U_p$ để $\{a,\,a+1\}\subset S$. Ta sẽ chứng minh điều đó, bằng phản chứng.

Với $p$ là số nguyên tố lẻ và $a\in\mathcal U_p$ gọi $\mathfrak i_p(a)$ là nghịch đảo của $a$ theo mod $p$, từ bổ đề tiếp tuyến, ta có tính chất rất cơ bản sau đây về thương Fermat \[{{\cal F}_p}\left( {p – a} \right)\mathop \equiv \limits^p {{\cal F}_p}\left( a \right) + {{\mathfrak i}_p}\left( a \right).\]Từ tính chất vừa nêu, ta thấy là nếu $a\notin S$ thì sẽ kéo theo $p-a\in S$. Bây giờ vì $1\notin S$ ta có luôn $p-1\in S$, từ giả định phản chứng có được $p-2\notin S$ cho nên $2\in S$, rồi lại có $3\notin S$ và từ $p-3\in S$ lại có tiếp $p-4\notin S$ vì thế mà có được\begin{align*}
0&\mathop \equiv \limits^p 4 {{{\cal F}_p}\left( {p – 4} \right) – 4{{\cal F}_p}\left( {p – 2} \right)}\\
&\mathop \equiv \limits^p 4 {{{\cal F}_p}\left( 4 \right) -4 {{\cal F}_p}\left( 2 \right) +4 {{\mathfrak i}_p}\left( 4 \right) – 4{{\mathfrak i}_p}\left( 2 \right)} .
\end{align*}Lại có ${{\mathfrak i}_p}\left( a \right)\mathop \equiv \limits^p {a^{p – 2}}$ và ${{\cal F}_p}\left( 4 \right)\mathop \equiv \limits^p 2{{\cal F}_p}\left( 2 \right)$ cho nên là\[0\mathop \equiv \limits^p 4{{\cal F}_p}\left( 2 \right) + {4^{p – 1}} – {2^p}\mathop \equiv \limits^p 4{{\cal F}_p}\left( 2 \right) – 1.\]Đến bây giờ, ta để ý thấy rằng ${{\mathfrak i}_p}\left( {p – 2} \right)\mathop \equiv \limits^p – {{\mathfrak i}_p}\left( 2 \right)$ sẽ dẫn đến mâu thuẫn là\[1\mathop \equiv \limits^p 4{{\cal F}_p}\left( 2 \right)\mathop \equiv \limits^p 4{{\cal F}_p}\left( {p – 2} \right) + 4{{\mathfrak i}_p}\left( {p – 2} \right)\mathop \equiv \limits^p 0 – 4{{\mathfrak i}_p}\left( 2 \right)\mathop \equiv \limits^p – 2.\]

$\square$

Mấy tính chất cơ bản của thương Fermat có nói đến ở bài toán quen thuộc trên http://mathscope.org/showthread.php?p=213832#post213832, còn bổ đề tiếp tuyến thì ở http://maths.vn/bo-de-tiep-tuyen-trong-dong-du/