Lời nói đầu: Bài giảng này, lại là một câu chuyện hết sức tào lao nữa của tôi, về 1 khái niệm khá là cao siu-trìu tượng trong Toán Học sơ cấp. Một câu chuyện tào lao, mà lại nói về một điều nghiêm túc và quan trọng, thật khó mà kể lể! Vì thế, mong bạn đọc, khi đọc nó (bài giảng này), hãy dành cho nó một sự lương thiện và hồn nhiên cần thiết. Bạn hãy ý thức là, tôi viết nên nó chỉ là trình bày và chia sẻ chút nhận thức cá nhân của mình.

 * * * * * *

1.     Khái niệm hàm số

 Cuộc sống, được chúng ta nhận thức qua sự hiện sinh các thành tố bên trong nó. Khi tồn tại để vận động và phát triển, các đối tương tác động lên nhau theo những quy luật được xác định, để rồi có những ảnh hưởng đến giá trị về lượng và chất lượng tương ứng. Toán học, với nghĩa vụ giúp con người chiêm bái và nghiệm xét đời sống, vì thế mà cần đến một khái niệm về các quy luật tác động tương ứng được lượng hóa giữa các đối tượng trong đời sống. Nó ắt hẳn, là một khái niệm quan trọng số 1 trong toán học.

Định nghĩa. Một quy tắc cho tương ứng giá trị giữa hai tập hợp số, gọi là một hàm số.

Như vậy, với hai tập số $X,\;Y$ nào đó, một hàm số là một quy tắc tương ứng được mô tả một cách hình thức như sau: $f:\,X\to Y$. Quy tắc này, có thể là một tổ hợp của các quy tắc cơ bản (các phép toán sơ cấp), nhưng cũng có thể được cho là một cách “đặc biệt” nào đó! Kiểu như ví dụ ngay dưới đây.

Ví dụ 1:   Vì $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \left( \mathbb{R}\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\mathbb{Q} \right)$ nên ta có thể xây dựng một hàm số $f:\,\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ bằng quy tắc, với mỗi $x\in \mathbb{Q}$ ta cho tương ứng với $y=1$. Còn với mỗi $x\in \mathbb{R}\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\mathbb{Q}$, ta cho ứng với $y=0$, tóm lại:     \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}    1;\,\,x\in \mathbb{Q}  \\    0;\,\,x\notin \mathbb{Q}  \\ \end{matrix} \right.\]Cái hàm số này, chả phải phịa ra cho nó vui đâu nhé, nó còn được biết dưới cái tên: “Hàm Dirichlet”. Ở trong môn giải tích, có nhiều vấn đề lien can đến nó, quan trọng phết!

 Ví dụ 2: Ta xây dựng một hàm số $f:\,\mathbb{R}\to \mathbb{R}$bằng quy tắc, với mỗi $x\in \mathbb{R}\,$ta cho tương ứng với một giá trị $y={{x}^{2}}=x\times x\in \mathbb{R}$. Việc làm đó, cho chúng ta một hàm số, thường gọi là “hàm lũy thừa bậc 2”.

 Tập $X$ ở định nghĩa trên, là tập hợp chứa những giá trị $x$ khởi nguồn (gây gổ) nên quy tắc tương ứng hàm. Và vì thế, chúng ta gọi nó là “tập nguồn” như đúng bản chất của nó, tập này chỉ được phép chứa các số mà khi $f$ tác động vào không bị vô nghĩa. Thêm nữa, vì ta đã gọi $X$ là tập nguồn, thế nên chắc chả có cái tên nào phù hợp hơn cho $Y$ là “tập đích”, phỏng ạ?!

Ví dụ 3:  Ta xét hàm số $f:\,\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, mà quy tắc, phát biểu bằng mồm là “mỗi số thực cho tương ứng với  số nghịch đảo của nó”. Như vậy, nếu viết tường minh công thức hàm, thì là $f\left( x \right)=\frac{1}{x}$. Khổ nỗi, phép chia không thể thực hiện được với số 0, và do đó quy tắc nói mồm trên chỉ có ý nghĩa với những giá trị $x\ne 0$. Chúng ta, đang làm việc trên trường số thực, vậy nên cái tập nguồn kia phải thỏa\[X \subset \mathbb{R}^* = \{ x\in \mathbb{R} : x\ne 0\}.\]

Với một quy tắc $f$ cho trước (thường là được hình thành bởi tổ hợp các phép toán sơ cấp ), tập tất cả các số làm xác định $f$ được gọi là “tập xác định của $f$”. Trong suốt bài giảng này, nếu cần nói đến “tập xác định của $f$”, tôi sẽ sử dụng ký hiệu${{D}_{f}}$. Và với quy ước đó, khi bạn muốn kiến lập một hàm $f:X\to Y$, thì cần phải có điều kiện $X\subset {{D}_{f}}$. Quay lại cái ví dụ 2 kia, nếu bạn muốn xây dựng một hàm số, với quy tắc hàm là phép nghịch đảo. Thế thì, muốn tập nguồn $X$ ra sao cũng được, nhưng ,mà nó cứ phải thỏa\[X \subset \mathbb{R}^* = \{ x\in \mathbb{R} : x\ne 0\}.\]Với mỗi phần tử $x\in X$, qua sự tác động của quy tắc $f$, ta nhận được một giá trị tương ứng . Khi xảy đến điều đó, ta viết $y=f\left( x \right)$, và gọi “y là giá trị của hàm tại $x$”. Ta cũng có thể gọi một cách bóng bẩy hình tượng hơn là : “y là ảnh của x”. Và nếu như dùng cách nói vậy, thì đảo lại vai trò, ta nói: “x là tạo ảnh của y”.

Ví dụ 4: Hàm số lũy thừa bậc hai với quy tắc $f\left( x \right)={{x}^{2}}\forall x\in \mathbb{R}$. Thế thì, 1 là ảnh chung của cả -1 và 1, vì $1={{\left( -1 \right)}^{2}}={{1}^{2}}$. Còn $f(3)=9$ là do, $9={{3}^{2}}$, nên ta nói “9 là giá trị hàm tại 3”. Với hàm này, nếu ai hỏi bạn là: “Ảnh của ông giời là điếu gì?”. Bạn cứ trả lời cho tôi là “Với hàm lũy thừa bậc 2 ảnh của ông giời là ông giời bình phương”.  Nếu người ta còn chút băn khoăn “ông giời bình phương cụ thể giá trị là bao nhiêu?” Bạn chỉ việc hỏi lại “thế ông giời có giá trị bao nhiêu?” Sau đó hẵng mất công tính toán cái “bình phương của ông giời”.

 Qua ví dụ trên ta thấy rằng, có thể có nhiều tạo ảnh (giá trị biến số) $x$, qua quy tắc $f$ cho tương ứng với một ảnh là $y$. Tuy nhiên, trong chương trình phổ thông (và cả bài giảng này), chúng ta không xét đến lớp các hàm số (quy tắc) mà mỗi tạo ảnh lại cho tương ứng với hai ảnh. Có nghĩa là, với chúng ta thì hễ $x=x’$ sẽ kéo theo $f\left( x \right)=f\left( x’ \right)$. Mặc dù hễ $x\ne x’$, thì hoàn toàn vẫn có thế xảy ra sự kiện $f\left( x \right)=f\left( x’ \right)$. Riêng với lớp hàm số mà hế cứ $x\ne x’$, kéo theo $f\left( x \right)\ne f\left( x’ \right)$, ta gọi chúng là những hàm “đơn ánh”.

Sau quá trình tác động (bắn phá) của $f$ lên khắp tập nguồn, chúng ta thâu lượm lại các giá trị tương ứng, để có một tập hợp mà ta sẽ gọi là “tập giá trị”. Trong bài giảng này, khái niệm “tập giá trị”, rất quan trọng vậy nên tôi sẽ lạm dụng ký hiệu $f\left( X \right)$ để nói đến “tập giá trị” của hàm $f$ có tập nguồn là $X$. Tóm lại là, với hàm $f:X\to Y$ thì $f\left( X \right)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }f\left( x \right):x\in X\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$, và ta cũng cần lưu ý bao hàm thức sau $f\left( X \right)\subset Y$.

Ví dụ 5: Trong trường hợp, hàm số lũy thừa bậc hai $f:\,\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, với quy tắc \[f\left( x \right)={{x}^{2}}\,\forall x\in \mathbb{R}\]Thế thì, cũng không khó khăn gì lắm, để mà bạn cũng hiểu rằng: “Dù tập đích của hàm viết ở trên là $\mathbb{R}$, tuy nhiên, $\mathbb{R}$ không phải là tập giá trị $f\left( \mathbb{R} \right)$…”. Bạn mà không tin, thì thử lấy$-1\in \mathbb{R}$ ra, và tự vật vã coi tạo ảnh của nó là gì? Còn cái câu hỏi “thế $f\left( \mathbb{R} \right)$là gì?”, tôi hy vọng là bạn tự trả lơi được, nếu bạn có những hiểu biết tối thiểu về phép toán bình phương và phép lấy căn. Hoặc là, nếu bạn vẫn chưa tự trả lời được, thì chờ thêm vậy!

******

Khái niệm tổng quan về hàm số một biến số là như vậy. Tuy  nhiên, suốt dọc phía sau bài giảng này, tôi cũng bắt chước SGK và những tài liệu sơ cấp khác. Khi nói đên một hàm số, tôi chỉ bày ra quy tắc cho tương ứng hàm, tức là cái công thức $f\left( x \right)$ là cái gì? Chứ còn, tập nguồn thì cứ mặc định là ${{D}_{f}}$, còn tập đích mặc định là $\mathbb{R}$(cho nó thoáng rộng).

Tôi có đọc rất kỹ các SGK phổ thông, từ lớp bé đến lớp lớn, trước khi viết bài giảng này. Và như tôi biết,  thì trong SGK không hề có dòng nào, nói về khái niệm “Hàm số nhiều biến”. Bởi vậy, tôi cũng có dã tâm, đưa ra cái định nghĩa đó ở đây.  Tuy nhiên, cũng theo tôi biết, thì ngay khi mới lớp 7 bạn đọc đã phải quen thuộc với khái niệm “biểu thức đại số nhiều biến” rồi. Và về bản chất thì, nếu như người ta, vẽ ra trước mặt bạn một biểu thức hai biến như:     \[P\left( x;y \right)={{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-3xy+4x-5y+6\]Thế thì, cái biểu thức đó chính là một hàm số hai biến số. Vấn đề ở đây là, bạn cũng chả phải câu nệ cái tên gọi đó đâu, bạn cứ coi đó là “biểu thức đại số nhiều biến”. Hoặc nếu thích, thì bạn cứ thầm thì với chứng mình, đó là “hàm số hai biến số” cho nó sang mồm. Với tôi, nếu phải khảo sát và đánh giá giá trị của \[P\left( x;y \right)={{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-3xy+4x-5y+6\]Đôi khi, tôi coi béng nó là “hàm biến x tham số y”. Tôi phân bì thế, để xin khước thứ việc phải trình bày trong bài giảng này, những thứ diệu vợi như “Đạo hàm riêng hay phương pháp nhân tử Lagrange…”. Ba cái thứ đó, trước sau gì bạn chả được học ở Đai Học, biết trước ngay từ bây giờ chả biết là có tốt hơn điều gì không?

******

2.    Bản chất công việc khảo sát một hàm số

 Việc khảo sát một đối tượng nào đó, nói khác đi, chính là công việc tìm hiểu bản chất đối tượng đó. Cái gọi là bản chất, nó cũng nhiều cấp độ mênh mang vô cùng tận, cái chúng ta có thể với tới nơi đây tạm hãy chấp nhận là những điều cơ bản nhất. Hãy tưởng tượng như ta phải tìm hiểu, khám phá một hàm số, như thể một nhà nông học nghiên cứu về một động vật nào đó (con bò chẳng hạn). Thế thì, theo như kết cấu ở định nghĩa một hàm $f:X\to Y$, chúng ta có bài toán các cơ bản sau đây:

1. Bài toán về tập xác định ${{D}_{f}}$ (bài toán về tập nguyên liêu).
2. Bài toán tìm hiểu về quy luật, tính chất, những đặc điểm của quy tắc $f$ (cái máy chế biến sản phẩm).
3. Bài toán về tập giá trị $f\left( X \right)$ (bài toán về chất lượng sản phẩm).

Về bản chất vấn đề, thường thì bài toán về tập xác định, không phải là bài toán đóng vai trò quan trọng nhất trong mục đích khảo cứu của chúng ta (tất nhiên, chúng ta cũng phải quan tâm đến việc con bò đã ăn thứ cỏ gì, để mà kiểm soát đến chất lượng thịt của nó). Có lẽ, quan trọng hơn tất cả, đó là chúng ta phải kiểm soát được quy luật $f$. Khi ta làm tốt việc này, sẽ dẫn đến việc kiểm soát được $f\left( X \right)$.

Với những hàm hằng, tức là giá trị hàm không thay đổi tương ứng, theo sự thay đổi giá trị của biến số. Thiết nghĩ, chẳng có gì để xăm soi nhiều, thế còn nếu không là hàm hằng thì sao?

Khi $f\left( x \right)$ không là hàm hằng, khi chúng ta cho thay đổi (biến thiên) giá trị biến số $x$, lúc đó các giá trị hàm thay đổi tương ứng theo. Và như vậy, để kiểm soát tình hình, nói chung chúng ta phải xét đến ít nhât hai thời điểm khác nhau của giá trị biến số.

Giả thử, hai thời điểm biến thiên ta đang xét đến là $x$ (khởi nguồn) và $x+h$ (kết thúc), ta có sơ đồ biến thiên ở hai thời điểm đó như sau:

Ở đây, độ chênh lệch biến thiên giá trị của biến số là ${{\Delta }_{x}}=h$, nó cảm sinh (qua quy tắc $f$) độ chênh lệch biến thiên hàm tương ứng là ${{\Delta }_{f\left( x \right)}}=f\left( x+h \right)-f\left( x \right)$. Vấn đề, mà chúng ta cần tìm hiểu giờ đây, đó là tìm hiểu: “Sự ảnh hưởng, của độ biến thiên giá trị biến số ${{\Delta }_{x}}$ (gia số biến) lên độ biến thiên giá trị hàm số (gia số hàm) ${{\Delta }_{f\left( x \right)}}$ tương ứng xảy ra như thế nào?”

Ngay đây, có hai hoàn cảnh có thể xảy đến với cái sơ đồ hinhg vuông trên, đó là:

• Nếu ${{\Delta }_{x}}=h$ “cùng” dấu với  ${{\Delta }_{f\left( x \right)}}=f\left( x+h \right)-f\left( x \right)$. Điều này có nghĩa rằng: “Giá trị hàm và giá trị hàm cùng chiều tăng giảm giá trị”. Nếu với ${{\Delta }_{x}}=h$ bất kỳ, mà xảy đến sự kiện này, người ta gọi $f$ là hàm số đồng biến.
• Nếu ${{\Delta }_{x}}=h$ “ngược” dấu với ${{\Delta }_{f\left( x \right)}}=f\left( x+h \right)-f\left( x \right)$. Điều này có nghĩa rằng: “Giá trị hàm và giá trị hàm ngược  chiều tăng giảm giá trị”. Nếu với ${{\Delta }_{x}}=h$ bất kỳ, mà xảy đến sự kiện này, người ta gọi $f$ là hàm số nghịch biến.

Hai trạng thái “đồng biến” và “nghịch biến” là hai trạng thái biến thiên cơ bản đối với một hàm số. Những hàm số, luôn chỉ có một trong hai trạng thái này, người ta gọi chúng là các hàm số đơn điệu.

Ví dụ 6: Xét hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\,f\left( x \right)=x+1$, ta thấy rằng, hễ như $u>v$ thì: \[f\left( u \right)=u+1>v+1=f\left( v \right)\]Do vậy, hàm số vừa xét đến, là một hàm số đồng biến trên toàn tập nguồn. Bằng phep so sánh trực tiếp, chúng ta có thể nhận ra rằng hàm số sau, là một hàm nghịch biến trên khắp tập nguồn:\[g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g\left( x \right)=-x+1\]Còn hàm số lũy thừa bậc hai $f(x)=x^2;\;x\in\mathbb R$, mà chúng ta đã bàn ở trên kia, nó sẽ đồng biến trên$\left( 0;+\infty  \right)$, và nghịch biến $\left( -\infty ;\,0 \right)$. Lý do cho kết luận đó là bởi vì, nếu xét hai thời điểm biến thiên $x$ và $x+h$ với $h\neq 0$, sẽ thấy\[{{\Delta }_{x}}=h;\,\,{{\Delta }_{f\left( x \right)}}={{\left( x+h \right)}^{2}}-{{x}^{2}}=h\left( x+h+x \right)\]Rõ ràng:

• Nếu $x;\; x+h\in (0;\,+\infty)$, thì do $x+x+h>0$ nên ${{\Delta }_{f\left( x \right)}}$ luôn cùng dấu với $h\neq 0$.
• Nếu $x;\;x+h\in (-\infty;\,0)$, thì do $x+x+h

 Như vậy, để xét tính đơn điệu trên một miền nào đó, chúng ta cần quan tâm đến sự cùng dấu (hoặc trái dấu) của gia số hàm và gia số biến. Từ đó chúng ta cần quan tâm đến dấu của tỷ số\[k=\frac{{{\Delta }_{f\left( x \right)}}}{{{\Delta }_{x}}}=\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h};\,\,\,\,h\ne 0\]Chúng ta có quy tắc sau đây:

Quy tắc xét tính đơn điệu:

• Nếu hàm $f\left( x \right)$ xác định trên miền $D$ và trên đó:\[k=\frac{{{\Delta }_{f\left( x \right)}}}{{{\Delta }_{x}}}=\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}>0,\,\,\,\forall x;\,x+h\in D,\,\,h\ne 0\]            Khi đó hàm số đã cho , sẽ đồng biến trên $D$.

• Nếu hàm $f\left( x \right)$ xác định trên miền $D$ và trên đó:\[k=\frac{{{\Delta }_{f\left( x \right)}}}{{{\Delta }_{x}}}=\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}Khi đó, hàm số đã cho, sẽ nghịch biến trên $D$.

Chúng ta sẽ xem xét một ví dụ, áp động quy tắc trên để xét tính đơn điệu hàm

Ví dụ 7:  Xét hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R};\,\,f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+1$ ta có\[\begin{align}  & f\left( x+h \right)-f\left( x \right)={{\left( x+h \right)}^{3}}+3\left( x+h \right)+1-\left( {{x}^{3}}+3x+1 \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( {{\left( x+h \right)}^{3}}-{{x}^{3}} \right)+3\left( x+h-x \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=h\left( {{\left( x+h \right)}^{2}}+\left( x+h \right)x+{{x}^{2}}+3 \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=3h\left( {{x}^{2}}+xh+{{h}^{2}}+1 \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=3h\left( \frac{3{{h}^{2}}}{4}+{{\left( x+\frac{h}{2} \right)}^{2}}+1 \right) \\\end{align}\]Vậy nên, ta có\[k=\frac{{{\Delta }_{f\left( x \right)}}}{{{\Delta }_{x}}}=\frac{9{{h}^{2}}}{4}+3{{\left( x+\frac{h}{2} \right)}^{2}}+3>0\,\,\forall \,x;\,h\in \mathbb{R}\]Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb R$.

******

Bây giờ, với chúng ta, câu hỏi mới lại được đặt ra là: “Thế cái giá trị gia số biến số ${{\Delta }_{x}}=h$ gây gổ kia cần phải ra sao? Để mà quá trình khảo sát của chúng ta đem đến những thông tin đáng tin cậy!”. Chuyện này thì thật ra đơn giản, nó giống như bạn đang gặp một cô ả có mái tóc dài tuyệt đẹp, nàng đưa cho bạn xem tấm hình của nàng thủa bé (lúc mà nàng, cũng như bất kỳ đứa trẻ sài đẹn nào khác đều để đầu trọc lơ kiểu Ronaldo béo). Bạn sẽ không thể nào hình dung nổi, điều gì đã xảy đến với giai nhân của chúng ta, suốt bấy nhiêu tháng năm. Để mà từ một mớ lông như con gà cộc, bằng cách quái quỷ nào, giờ thì nó đã thành một dòng sông chở nắng trên vai. Bắt nàng ngồi, kể lại chi ly từng giây khắc, điều gì đã xảy ra trong 20 năm kia ư? Can bạn một lần nhé, vì không chỉ bởi có nhiều lúc trong cái chuỗi thời gian kia, không nên kể (nó có thể không liên can đến tóc). Mà là tại nếu làm thế, thì lúc nàng kể xong thì cái dòng sông chở nắng kia đã hiu hắt bay, lênh đênh biển khơi hoặc tơi bời.. vài sợi mảnh lơ thơ.

Chúng ta đang sống trong những suy diễn Toán Học, với sức mạnh của sự trừu tượng và logic hình thức. Chúng ta chỉ cần thống nhất quan điểm với nhau rằng: “cái ${{\Delta }_{x}}=h$ càng bé càng tốt, thậm chí bé ở một ý niệm là không có thứ bé hơn thì là tốt nhất!”

Ví dụ 8: Với một dãy số ${{\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{a}_{n}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }}_{n\in \mathbb{N}}}$ (bản chất là một hàm $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$), thế thì để khảo cứu về nó (tính đơn điệu chẳng hạn), chúng ta xét đến giá trị sai phân: ${{\Delta }_{n}}={{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$. Bởi vì, các biến số nguyên (chỉ số dãy), có độ chênh lệch nhỏ nhất là $h=1$.

 Cụ thể tý nhé (kẻo lại chả tin nhau) , chúng ta quan tâm đến một bài toán kiểu đó, như sau:

Ví dụ 9: Sơ khảo dãy ${{u}_{n}}=C_{2012}^{n};\,\,\,n\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0;\,1;\,…;\,2012\}$ để tìm $n\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0;\,1;\,…;\,2012\}$, để tìm giá trị $C_{2012}^{n}$ lớn nhất!

 Lời giải. Xét ${{\Delta }_{n}}={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=C_{2012}^{n+1}-C_{2012}^{n};\,\,n\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0;\,1;\,…;\,2012\}$ ta thấy:\[{{\Delta }_{n}}=\frac{2012!}{\left( n+1 \right)!\left( 2011-n \right)!}-\frac{2012!}{n!\left( 2012-n \right)!}=\frac{2012!\left( 2011-2n \right)}{\left( n+1 \right)!\left( 2012-n \right)!}\]Như vậy là ta thấy:

• Nếu $n\le 1005$ thì ${{\Delta }_{n}}>0$, tức là dãy trên tăng từ ${{a}_{0}}$ đến ${{a}_{1006}}$, hay nói khác đi: \[{{a}_{1}} <{{a}_{2}}< ..<a_{1005}<{{a}_{1006}}\]
• Nếu $n>1005$ thì ${{\Delta }_{n}}{{a}_{1007}}>…>{{a}_{2012}}\]Từ đây, rõ ràng rằng giá trị $C_{2012}^{n}$, lớn nhất là $C_{2012}^{1006}$.

$\blacksquare$

Cũng là một vấn đề về dãy, tức là hàm trên tập rời rạc $\mathbb N$. Với các hàm kiểu dãy số, quy tắc cho tương ứng đôi khi không được cho trực tiếp qua một công thức trực tiếp theo chỉ số $n$, mà ẩn qua phép truy hồi, tức là muốn có những giá trị của hàm (giá trị một phần tử của dãy), chúng ta xác định nó qua các phần tử xuất hiện trước trong dãy. Chúng ta xét thêm ví dụ sau..

Ví dụ 10: Cho dãy bởi công thức truy hồi\[{{\left\{ {{y}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}:\,\,{{y}_{0}}=0;\,\,{{y}_{n+1}}=\sqrt{2+{{y}_{n}}}\] Khảo sát tính tăng-giảm của dãy, chứng tỏ rằng $\sqrt{2}\le {{y}_{n}}\le 2\,\,\forall \,n\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$, và đồng thời với $\forall \,d>0$, tồn tại $m\in \mathbb{N}$ thỏa\[2-{{y}_{n}}m\]

Lời giải.Rõ ràng ${{y}_{n}}\ge 0\,\,\forall n\in \mathbb{N}$,  xét \[{{\delta }_{n}}=2-{{y}_{n}};\,\,\,{{\Delta }_{n}}={{y}_{n+1}}-{{y}_{n}}\,\,\forall \,n\in \mathbb{N}\] Để thấy \[\begin{align}  & {{\delta }_{n+1}}=2-{{y}_{n+1}}=2-\sqrt{2+{{y}_{n}}}=\frac{2-{{y}_{n}}}{2+\sqrt{2+{{y}_{n}}}}=\frac{{{\delta }_{n}}}{2+\sqrt{2+{{y}_{n}}}};\,\,(i) \\ & {{\Delta }_{n}}={{y}_{n}}-\sqrt{2+{{y}_{n}}}=\frac{y_{n}^{2}-{{y}_{n}}-2}{{{y}_{n}}+\sqrt{2+{{y}_{n}}}}=-\frac{\left( 1+{{y}_{n}} \right){{\delta }_{n}}}{{{y}_{n}}+\sqrt{2+{{y}_{n}}}};\,\,(ii) \\\end{align}\] Như vậy từ $\left( i \right)$, rõ ràng ta có được ${{\delta }_{n+1}}$ luôn cùng dấu với ${{\delta }_{n}}$, do đó từ việc truy toán liên tục mà dẫn tới ${{\delta }_{n}}$luôn cùng dấu với ${{\delta }_{0}}=2>0$, vì vậy ${{\delta }_{n}}>0\,\,\forall \,n\in \mathbb{N}$.  Đến đây, từ $\left( ii \right)$ ta có ${{\Delta }_{n}}>0\,\,\forall \,n\in \mathbb{N}$. Để mà có được kết luận rằng, dãy số chúng ta đang xét đến là một dãy tăng ngặt, đồng thời  \[\sqrt{2}={{y}_{1}}<{{y}_{2}}

$\blacksquare$

(Còn tiếp..)

.