Articles by Mr 2M

You are currently browsing Mr 2M’s articles.

Bài này, liên quan đến một bài viết khác của tôi, vấn đề đặt ra là như thế sau

Với $\alpha=\frac{1+\sqrt 5}{2}$, xét vành $R = \left\{ {a + b\alpha :\;a,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} b \in \mathbb Z} \right\}$, ta cần đi tìm các số nguyên tố $p$ để $I(p)=\{pr:\;r\in R\}$ là một ideal nguyên tố. Nghĩa là, cần tìm $p$ sao cho cứ từ $xy\in I(p)$ thì phải có $x\in I(p)$ hoặc $y\in I(p)$.

Bởi vì $5=\left(\sqrt 5\right)^2$, và nếu đặt $
\frac{1-\sqrt 5}{2}=\beta$ thì $\beta\in R$ thêm nữa $-2\alpha\beta=2$ cho nên ta chỉ cần xét các số nguyên tố lẻ và khác $5$.

Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Tình cờ, mình nhìn thấy cái bài này trên THTT, nội dung như sau đây

Bài toán. Cho $n$ là một số nguyên dương, chứng minh rằng phải có $3^{n+1}$ bé hơn số ${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}} + {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}}$, đồng thời cái số đó sẽ chia hết cho $3$.

Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Một lát cắt $C$ là một tập con thực sự của $\mathbb Q$, thỏa mãn đồng thời các điều kiện

  • Mọi số hữu tỷ nhỏ hơn một phần tử nào đó của $C$, đều thuộc $C$.
  • Trong $C$ không có số lớn nhất.

Cho $a$ là một số hữu tỷ, ta có thể dễ dàng kiểm chứng $C_a$ là một lát cắt trong đó $$C_a=\left\{x\in\mathbb Q:\;x<a\right\}.$$ Những lát cắt kiểu này, gọi là lát cắt xác định số hữu tỷ, ngoài ra ta có thể kiểm tra tập hợp sau đây cũng là một lát cắt $$S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}.$$ Cũng có thể chứng minh được rằng $S\ne C_a$ với mọi số hữu tỷ $a$, nói khác đi thì cái lát cắt $S$ kia nó không phải là lát cắt xác định số hữu tỷ. Lát cắt kiểu như $S$, tức là các lát cắt khác các lát cắt xác định số hữu tỷ, sẽ được gọi là lát cắt xác định số vô tỷ.

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Tập số thực $\mathbb R$ vốn được định nghĩa rất chặt chẽ qua các lát cắt hữu tỷ, từ khái niệm đó ta có định lý của Dedekind và sinh ra tự nhiên nguyên lý inf-sup. Chỉ có điều rất trái khoáy, là sgk lại không trình bày nền tảng Giải Tích theo lối đó, họ trình bày khái niệm giới hạn theo trình tự: mô tả giới hạn của dãy hội tụ về 0, sau đó đưa ra khái niệm dãy $\left(s_n\right)$ hội tụ về một số thực $l$ nhờ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left({s_n} -l\right)=0$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Bài toán sau, có thể coi là một mở rộng của định lý Wilson.

Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố, thỏa mãn $p-3$ chia hết cho $8$. Gọi $S$ là tập tất cả các số ở dạng $a+b\sqrt 2$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên không âm nhỏ hơn $p$ và không đồng thời bằng $0$. Giả sử tích tất cả các phần tử của $S$ viết được dưới dạng $m+n\sqrt 2$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên. Tìm số dư của $m$ và $n$ khi đem chia cho $p$. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Ở bài viết http://maths.vn/sap-day-cac-so-huu-ty/, chúng ta biết rằng $\mathbb Q$ là một tập đếm được, nghĩa là ta có thể sắp tất cả các số hữu tỷ thành một dãy số. Tập $\mathbb Q$ lại là một tập con thực sự của tập số thực $\mathbb R$, và theo như bổ đề Cantor đã trình bày ở bài  http://maths.vn/dieu-kien-don-dieu-cua-ham-kha-vi/, thì tập hợp các số hữu tỷ “thưa thớt” hơn tập số thực. Tuy nhiên, theo như quá trình xây dựng $\mathbb R$ qua các lát cắt trên $\mathbb Q$, thì có một đặc tính rất quan trọng của $\mathbb Q$ ở trong Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Tình cờ gặp bài toán sau.

Bài toán. Cho dãy số $\left(x_n\right)_{n\in\mathbb N}$ trong đó $x_0=1,\,x_1=3$ và với số tự nhiên $n$ bất kỳ, ta luôn có ${x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} – {x_n}$. Chứng minh rằng, nếu $k$ là số nguyên dương và $p$ là ước nguyên tố của $x_{2^k}$ thỏa mãn $p\equiv 1\pmod 4$, thì $2^{k+2}\mid (p-1)$. Read the rest of this entry »

Tags: ,

Bài toán mà Hải Thanh hỏi.

Bài toán. Tìm min của $f(x)=6x_1+x_2+x_3+3x_4+x_5-x_6$, với ràng buộc $x_i\ge 0$ với $i=\overline{1,\,6}$ và\[\left\{ \begin{array}{l}
– {x_1} + {x_2} – {x_4} + {x_6} = 15\\
2{x_1} – {x_3} + 2{x_6} = – 9\\
4{x_1} + 2{x_4} + {x_5} – 3{x_6} = 2
\end{array} \right.\] Read the rest of this entry »

Tags:

Có rất là nhiều các chứng minh cho sự vô hạn của tập các số nguyên tố, ngây thơ-sơ cấp có mà 18+ cũng nhiều. Bạn nào mà tham lam, thì lên Arxiv kiếm cái bài EUCLID’S THEOREM ON THE INFINITUDE OF PRIMES: A HISTORICAL SURVEY OF ITS PROOFS . Ở bài viết nhỏ này, tôi xin trình bày lại một chứng minh mà tôi biết. Nó đã được đăng trên tạp chí Mathematics Magazine, và tác giả của nó là Haydar Goral, một bác bên Thổ Nhĩ Kỳ, nội dung như sau đây. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Trong cái đề thi minh hoạ cho đề thi THPT QG của bộ Dục, có bài toán sau đây.

Bài toán 1. Cho $f(x)$ là một hàm liên tục trên $\mathbb R$ và thỏa mãn \[xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 – {x^2}} \right) = – {x^{10}} + {x^6} – 2x,\quad \forall {\mkern 1mu} x \in \mathbb R.\]Tính tích phân $I=\displaystyle{\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx.}}$

Chép như thế, là chưa có đầy đủ, bởi vì dưới nội dung đã nêu theo đề gốc còn 4 cái đáp án A, B, C, D cho các cháu học sinh chúng nó chọn. Mình không quan tâm cái đó, và vì tính tích phân chậm, nên cái mình quan tâm là bài toán sau. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Đọc sách gặp một vấn đề khá thú vị, nên tôi trình bày ra đây.Cho $f,\,g:\;\mathbb R\to\mathbb R$ là các hàm có đạo hàm (khả vi) trên khắp $\mathbb R$, khi đó thì chắc chắn $f(x)+g(x)$ cũng là một hàm có đạo hàm trên $\mathbb R$, và ta có công thức\[{f^\prime }\left( x \right) + {g^\prime }\left( x \right) = {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime }.\] Câu hỏi rất lăn tăn và hồn nhiên đặt ra là: Khi mà đã sẵn có $f^\prime(x)$ và $g^\prime(x)$ trên khắp $\mathbb R$, thì liệu có luôn tồn tại hay không một hàm $h(x)$ cũng khả vi trên khắp $\mathbb R$ để sao cho với mỗi số thực $x$ ta đều có đẳng thức $$f^\prime(x)g^\prime(x)=h^\prime(x)?$$

Trong tình huống $f$ và $g$ khả vi liên tục trên $\mathbb R$, câu trả lời ắt là tầm thường. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Cho trước các đa thức hệ số thực là $f(x)$ và $g(x)$, trong đó $\deg g>0$ khi đó ta luôn có thể viết phân tích chính tắc của $g$ dưới dạng\[g\left( x \right) = c{p_1}{\left( x \right)^{{k_1}}}{p_2}{\left( x \right)^{{k_2}}} \ldots {p_n}{\left( x \right)^{{k_n}}}.\]Ở đây, $c$ là một hằng số thực khác $0$ (là hệ số bậc cao nhất của $g(x)$), còn $p_i(x)$ là các đa thức monic bất khả quy trên $\mathbb R[x]$, tức là các đa thức ở dạng $x-r_i$ hoặc $x^2+a_ix+b_i$ với $r_i,\,a_i,\,b_i$ là các số thực đồng thời $\Delta_i=a_i^2-4b_i<0$. Read the rest of this entry »

Tags: ,

« Older entries § Newer entries »