Vieta jumping với bậc đa thức

Bài toán về đa thức sau đây, có thể sử dụng một skill kinh điển của Số Học, đó là Vieta jumping

Bài toán. Tìm các cặp đa thức có hệ số phức $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $P^2(x)+1$ chia hết cho $Q(x)$ và $Q^2(x)+1$ chia hết cho $P(x)$.

Lời giải. Giả sử $P,\,Q$ là cặp đa thức thỏa yêu cầu, không mất tính tổng quát ta giả sử $\deg P\ge \deg Q$. Rõ ràng là ta có ngay $\gcd (P,\,Q)=1$, cho nên dẫn đến điều kiện tương đương là\[P\left( x \right)Q\left( x \right)\mid \left( {{P^2}\left( x \right) + {Q^2}\left( x \right) + 1} \right).\]Ta xét ba trường hợp sau.

  1. Nếu $\deg Q=0$, khi đó có ngay $\deg P=0$ và tất nhiện tình huống này thỏa mãn.
  2. Nếu tồn tại cặp $(P, Q)$ sao cho $\deg Q>0$ và $\deg P>\deg Q$, ta giả sử $(P,\,Q)$ là một cặp như thế thỏa $\deg P+\deg Q$ nhỏ nhất. Viết $Q^2+1=qP$, với $p\in\mathbb C[x]$, và giả sử $k\in\mathbb C[x]$ thỏa mãn $P^2+Q^2+1=kPQ$, ta có biến đổi sau\[pP\left( {{P^2} + pP} \right) = {P^2}\left( {pP + {p^2}} \right) = \left( {{Q^2} + 1 + {p^2}} \right){P^2} = kpQ{P^2}.\]Bởi vì $\deg pP>0$, nên kéo theo\[{Q^2} + {p^2} + 1 = kQp.\]Điều này cho thấy cặp $(Q,\,p)$ cũng thỏa yêu cầu, đồng thời $\deg p=2\deg Q-\deg P<\deg Q$ và $\deg p+\deg Q<\deg Q+\deg P$, cho nên cặp $(Q,\,p)$ mới sinh vi phạm vai trò của cặp $(P,\,Q)$. Vì thế, sẽ không xảy đến tình huống này.
  3. Nếu cặp $(P, Q)$ thỏa $\deg P=\deg Q>0$, lúc đó tồn tại hằng số $c\in\mathbb C$ sao cho\[{P^2} + {Q^2} + 1 = cPQ.\]Giả sử $r,\,r’$ là hai nghiệm phức của phương trình $x^2-cx+1,\;(*)$, ta có ngay\[\left( {P – rQ} \right)\left( {P – r’Q} \right) = – 1.\]Điều này cho thấy là các đa thức $f=P-rQ$ và $g=P-r’Q$ đều có bậc 0, cụ thể là tồn tại hằng số $C$ sao cho\[P – rQ =- C,\quad \;\;\;P – r’Q =  \frac{1}{C}.\]Nếu $r\ne r’$ là ta có\[Q = \frac{1}{{r – r’}}\left( {C + \frac{1}{C}} \right).\]Chú ý là $r,\,r’,\,C$ đều là hằng số, để gặp điều mâu thuẫn với tình huống đang xét là $\deg Q>0$. Vậy nên, $r=r’$, vì phương trình $(*)$ có nghiệm kép nên $c\in\{2,\,-2\}$. Điều đó dẫn đến $r=r’=1$ hoặc $r=r’=-1$. Tình huống thứ nhất cho ta $P-Q=i$ hoặc $P-Q=-i$, còn tình huống thứ hai cho ta $P+Q=i$ hoặc $P+Q=-i$. Sau thử lại, ta thấy đều thỏa mãn.

Tóm lại, các cặp đa thức $(P,\, Q)$ thỏa yêu cầu là các cặp đa thức hằng, hoặc là các cặp ở một trong 4 kiểu là $$\left(P(x),\,P(x)-i\right),\;\left(P(x),\,P(x)+i\right),\;\left(P(x),\,-P(x)+i\right),\;\left(P(x),\,-P(x)-i\right).$$Ở đây, $P(x)$ là một đa thức hệ số phức có bậc dương bất kỳ.

 

 

 

 

 

Reply