Về sự tồn tại của inf và sup

Tập số thực $\mathbb R$ vốn được định nghĩa rất chặt chẽ qua các lát cắt hữu tỷ, từ khái niệm đó ta có định lý của Dedekind và sinh ra tự nhiên nguyên lý inf-sup. Chỉ có điều rất trái khoáy, là sgk lại không trình bày nền tảng Giải Tích theo lối đó, họ trình bày khái niệm giới hạn theo trình tự: mô tả giới hạn của dãy hội tụ về 0, sau đó đưa ra khái niệm dãy $\left(s_n\right)$ hội tụ về một số thực $l$ nhờ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left({s_n} -l\right)=0$.

Sau khi trình bày chán chê các tính chất giới hạn của dãy số thực, sgk cũng đưa ra một nguyên lý làm nền, đó là nguyên lý Weierstrass, nội dung nó là như sau

Nguyên lý Weierstrass (WP). Một dãy số đơn điệu và bị chận thì sẽ hội tụ.

Nguyên lý vừa được nêu, là một trong năm nguyên lý cơ bản của Giải Tích cùng với các nguyên lý Cantor, Cauchy, Bolzano-Weierstrass và nguyên lý inf-sup. Nội dung của nguyên lý inf-sup là như sau

Nguyên lý inf-sup (ISP). Nếu $A$ là một tập con khác rỗng của $\mathbb R$ bị chận trên, tức là tồn tại số thực $M$ sao cho $M\ge a$ với mọi $a\in A$, thì sẽ tồn tại giá trị nhỏ nhất của tập $S=\left\{x\in\mathbb R:\;x\ge a,\,\forall\,a\in A\right\}$.

Với khẩu vị của mình, tôi vẫn ưa thích sự khởi đầu Giải Tích chặt chẽ như vốn dĩ. Do đó, khi giảng dạy, tôi thường lựa chọn nguyên lý inf-sup làm nền tảng. Nhưng cũng là bởi vì thế, nên ở bài viết này tôi buộc phải trình bày một việc ngược đời với bản thân, đó là dùng WP đi chứng minh ISP, cụ thể là dưới đây

Chứng minh. Giả sử $A$ là một tập con khác rỗng của $\mathbb R$ bị chặn trên, tức là $$S=\left\{ x\in\mathbb R:\; x\ge a,\,\forall\,a\in A\right\}\ne \emptyset.$$ Ta lấy ra $a_0\in A,\,s_0\in S$ tuỳ ý, và, với mỗi số nguyên dương $n$ ta sẽ xây dựng các dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N},\,\left(s_n\right)_{n\in\mathbb N}$ theo quy tắc truy hồi mô tả như sau đây\[\left( {{a_n},{\mkern 1mu} {s_n}} \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{a_{n – 1}},{\mkern 1mu} \dfrac{{{a_{n – 1}} + {s_{n – 1}}}}{2}} \right),\;\;\text{nếu}\;\dfrac{{{a_{n – 1}} + {s_{n – 1}}}}{2} \in S,\\
\left( {{\mkern 1mu} \dfrac{{{a_{n – 1}} + {s_{n – 1}}}}{2},{\mkern 1mu} {s_{n-1}}} \right),\;\;\text{nếu}\;\dfrac{{{a_{n – 1}} + {s_{n – 1}}}}{2} \notin S.
\end{array} \right.\]Khi đó, bằng truy toán thì với mỗi số tự nhiên $n$, ta đều có $a_n\le s_n$, và \[\left[ {{a_{n + 1}};{\mkern 1mu} {s_{n + 1}}} \right] \subset \left[ {{a_n};{\mkern 1mu} {s_n}} \right],\quad s_n\in S,\quad \left[ {{a_n};{\mkern 1mu} {s_n}} \right] \cap A \ne\emptyset,\;(*).\] Vì vậy, $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}$ đơn điệu không giảm và bị chận trên bởi $s_0$, còn $\left(s_n\right)_{n\in\mathbb N}$ đơn điệu không tăng và bị chận dưới bởi $a_0$, theo WP thì chúng lần lượt hội tụ đến các giới hạn $l_a,\,l_s$, nhưng ta lại có được đánh giá sau\[{s_{n + 1}} – {a_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{s_n} – {a_n}} \right),\;\forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Vì thế, $l_a=l_s$, đặt giá trị giới hạn chung đó là $m$, thì sẽ thấy

  • Nếu tồn tại $a\in A$ thoả mãn $a>m$, thì vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = m$ sẽ tồn tại $N\in\mathbb N$ để \[\left| {{s_n} – m} \right| < \frac{{a – m}}{2},\,\forall\,n>N.\] Kéo theo là $s_{N+1}<\frac{a+m}{2}<a$, cho ta mâu thuẫn với $(*)$.
  • Nếu tồn tại $s\in S$ thoả mãn $s<m$, thì vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = m$ sẽ tồn tại $N\in\mathbb N$ để \[\left| {{a_n} – m} \right| < \frac{{m -s}}{2},\,\forall\,n>N.\] Dẫn đến $a_{N+1}>\frac{s+m}{2}>s$, cũng cho ta mâu thuẫn với $(*)$.

Vậy, cứ với $s\in S$ và $a\in A$ tuỳ ý, thì $a\le m\le s$, nên $m\in S$ và $m$ chính là số nhỏ nhất trong $S$. Và như thế, ISP đã được chứng minh từ việc chấp nhận WP.

$\square$

Tags: , , , ,

Reply