Phần 1 về phân loại nhóm hữu hạn ở http://maths.vn/phan-loai-nhom-huu-han/
Bài viết này chúng ta sẽ bàn về ứng dụng của những lý thuyết ta xây dựng ở phần trước vào chứng minh định lí Sylow cho nhóm giao hoán

Định lí Sylow thứ nhất: Cho $(G,+)$ là nhóm Abel với $|G|=p^r.m$ với $p$ là số nguyên tố,$r\ge 1$ và $(m,p)=1$. Khi đó tồn tại một nhóm con $H$ của $G$ có cấp $p^r$ và ta gọi đó là $p$-nhóm con Sylow của $G$.

Chứng minh: Thật vậy ta biểu diễn $G$ dưới dạng sơ cấp:
\[G\cong \mathbb{Z}/(p_1^{\alpha_1})\oplus \mathbb{Z} /(p_2^{\alpha_2})\oplus…\oplus \mathbb{Z} /( p_n^{\alpha_n}) \]
theo đẳng cấu $\phi$, trong đó $p_1,p_2,…,p_n$ là các số nguyên tố và $p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}… p_n^{\alpha_n}=p^r.m$.
Khi đó có một số số nguyên tố trong $p_i$ phải bằng $p$, không mất tính tổng quát giả sử $p_1=p_2=…=p_k=p$ và $p_s\ne p$ với $k\in\mathbb{N},k\le n$ nào đó và $s>k,s\le n$.
Ta có ngay $r=\alpha_1+\alpha_2+…\alpha_k$, giờ ta xét \[H=\phi^{-1} (\mathbb{Z}/(p_1^{\alpha_1})\oplus \mathbb{Z} /(p_2^{\alpha_2})\oplus…\oplus \mathbb{Z} /( p_k^{\alpha_k})\oplus \underbrace{0\oplus 0 \oplus …\oplus 0}_{n-k}) \]
Dễ kiểm tra được rằng $H$ là nhóm con của $G$ và $|H|=p^r$ (đpcm)

Do tính giao hoán của $G$, định lí Sylow thứ hai và thứ ba gộp lại dưới dạng sau đây:

Định lí Sylow thứ hai và thứ ba: Cho một nhóm hữu hạn $(G,+)$ và một số nguyên tố $p$ là ước của $|G|$. Khi đó $G$ có duy nhất một $p$-nhóm con Sylow.
Chứng minh: Chiều tồn tại đã có theo định lí Sylow thứ nhất.
Ta viết $|G|=p^r.m$ với $p$ là số nguyên tố và $(m,p)=1$ và biểu diễn tương tự như chứng minh định lí Sylow thứ nhất:
\[G\cong \mathbb{Z}/(p_1^{\alpha_1})\oplus \mathbb{Z} /(p_2^{\alpha_2})\oplus…\oplus \mathbb{Z} /( p_n^{\alpha_n}) \]
theo đẳng cấu $\phi$, trong đó $p_1=p_2=…=p_k=p$ với $k\in\mathbb{N},k\le n$ nào đó và $p_s\ne p$ nguyên tố với mọi $s>k,s\le n$ thỏa mãn $p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}… p_n^{\alpha_n}=p^r.m$ và $r=\alpha_1+\alpha_2+…\alpha_k$
Gọi $\pi_i$ là phép chiếu chính tắc từ $\mathbb{Z}/(p_1^{\alpha_1})\oplus \mathbb{Z} /(p_2^{\alpha_2})\oplus…\oplus \mathbb{Z} /( p_n^{\alpha_n})$ vào $\mathbb{Z}/(p_i^{\alpha_i}) $
Giờ ta xét $K$ là một $p$- nhóm con Sylow của $G$, hay $|K|=p^r$. Khi đó mọi phần tử trong $K$ đều có cấp là lũy thừa của $p$ (chú ý là không phần tử nào có cấp 1 ngoại trừ $0$), do đó $\pi_i\circ \phi(K)=\{0\}$ với mọi $i> k$
Do đó $\phi|_K$ là đơn cấu từ $K$ vào $ \mathbb{Z}/(p_1^{\alpha_1})\oplus \mathbb{Z} /(p_2^{\alpha_2})\oplus…\oplus \mathbb{Z} /( p_k^{\alpha_k}) $
So sánh số phần tử của hai tập hợp, ta kết luận đây là đẳng cấu, do đó ta có điều phải chứng minh. $p$ nhóm con Sylow duy nhất chính là:
\[\phi^{-1} (\mathbb{Z}/(p_1^{\alpha_1})\oplus \mathbb{Z} /(p_2^{\alpha_2})\oplus…\oplus \mathbb{Z} /( p_k^{\alpha_k})\oplus \underbrace{0\oplus 0 \oplus …\oplus 0}_{n-k}) \]

Đây là một ứng dụng điển hình cho lý thuyết ta đã xây dựng ở phần trước. Ngoài ra nó còn được dùng để nghiên cứu các tự đồng cấu trên một $\mathbb{F}$-không gian véc tơ, khi đó ta có thể coi nó như một $\mathbb{F}[x]$-module và ta nhận được dạng chuẩn hữu tỉ và chuẩn Jordan của ma trận.

Một câu hỏi dành lại sau bài viết này, ta thấy rằng điểm khác biệt giữa định lí Sylow thứ hai cho nhóm giao hoán khác với nhóm tổng quát ở chỗ ta khẳng định được chỉ có duy nhất một $p$-nhóm Sylow. Liệu điều ngược lại có đúng? Tức là:
Cho nhóm $G$ hữu hạn thỏa mãn với mỗi $p$ nguyên tố là ước của $|G|$, $G$ có đúng một $p$- nhóm con Sylow. Hỏi rằng $G$ có giao hoán?

.