Bài 1:   Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{2y+z+x}+\dfrac{z}{2z+x+y}\le \dfrac{3}{4}.$$

Bài giải

Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có
$$ \dfrac{1}{2x+y+z} \le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z} \right),$$
hay
$$\dfrac{x}{2x+y+z}\le \dfrac{x}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right).$$
Tương tự như trên thì
$$\dfrac{y}{2y+z+x}\le \dfrac{y}{4}\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+x}\right),$$
$$\dfrac{z}{2z+x+y}\le \dfrac{z}{4}\left(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y}\right).$$
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh, vì
$$\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}+\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}=3.$$
Hoàn tất chứng minh.

Bài 2: 

Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a}{(k^2+1)a+k(b+c)}+\dfrac{b}{(k^2+1)b+k(c+a)}+\dfrac{c}{(k^2+1)c+k(a+b)}\le \dfrac{3}{(k+1)^2}.$$

Bài giải

Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có
$$\dfrac{(1+k)^2}{(k^2+1)a+k(b+c)}=\dfrac{(1+k)^2}{a+kb+k(ka+c)}\le \dfrac{1}{a+kb}+\dfrac{k}{ka+c}, $$
hay
$$\dfrac{a}{(k^2+1)a+k(b+c)}\le \dfrac{1}{(k+1)^2}\left(\dfrac{a}{a+kb}+\dfrac{ka}{ka+c}\right).$$
Tương tự
$$\dfrac{b}{(k^2+1)b+k(c+a)} \le \dfrac{1}{(k+1)^2}\left(\dfrac{b}{b+kc}+\dfrac{kb}{kb+a}\right).$$
$$\dfrac{c}{(k^2+1)c+k(a+b)}\le \dfrac{1}{(k+1)^2}\left(\dfrac{c}{c+ka}+\dfrac{kc}{kc+b}\right).$$
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh, vì
$$\dfrac{a}{a+kb}+\dfrac{ka}{ka+c}+\dfrac{b}{b+kc}+\dfrac{kb}{kb+a}+\dfrac{c}{c+ka}+\dfrac{kc}{kc+b}=3. $$
Hoàn tất chứng minh.

TQ

Với các số thực không âm $a,b,c$ và $k,q\ge 0$ khi đó ta có
$$\dfrac{a}{(k^2+q^2)a+kq(b+c)}+\dfrac{b}{(k^2+q^2)b+kq(c+a)}+\dfrac{c}{(k^2+q^2)c+kq(a+b)}\le \dfrac{3}{(k+q)^2}.$$

Bài 3: 

ho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\dfrac{1}{4c^2+a^2+b^2}\le \dfrac{1}{2}.$$

Bài giải

Thực hiện cách ghép để liên kết đẳng thức như sau nhờ Cauchy-Schwarz
$$\begin{aligned}\dfrac{\left(a+b+c
\right)^2}{4a^2+b^2+c^2}&=\dfrac{\left(a+b+c
\right)^2}{2a^2+ \left(a^2+b^2\right) +\left(a^2+c^2\right)}\\
&\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}.\end{aligned}$$
Tương tự
$$\dfrac{(a+b+c)^2}{4b^2+c^2+a^2}\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}.$$
$$ \dfrac{(a+b+c)^2}{4c^2+a^2+b^2}\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{b^2}{c^2+b^2}.$$
Lại có
$$\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}+\dfrac{a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{b^2}{c^2+b^2}=3.$$
Cộng vế theo vế và rút gọn cho 9. Hoàn tất chứng

Bài 4: 

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{b^2-ca}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{c^2-ab}{a^2+b^2+2c^2}\ge 0.$$

Bài giải

Viết lại bất đẳng thức như sau
$$\dfrac{2(a^2-bc)}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2(b^2-ca)}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{2(c^2-ab)}{a^2+b^2+2c^2}\ge 0,$$
hay
$$\dfrac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(c+a)^2}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}\le 3.$$
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có
$$
\dfrac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\le
\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}.$$
Tương tự
$$\dfrac{(c+a)^2}{a^2+2b^2+c^2}\le \dfrac{c^2}{c^2+b^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}.$$
$$\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}\le \dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}.$$
Lại có
$$\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{c^2+b^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}+\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}=3. $$
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh.

Bài 5: 

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a^2-bc}{4a^2+4b^2+c^2}+\dfrac{b^2-ca}{a^2+4b^2+4c^2}+\dfrac{c^2-ab}{4a^2+b^2+4c^2}\ge 0.$$

Bài giải

Viết lại bất đẳng thức như sau
$$\dfrac{4(a^2-bc)}{4a^2+4b^2+c^2}+\dfrac{4(b^2-ca)}{a^2+4b^2+4c^2}+\dfrac{4(c^2-ab)}{4a^2+b^2+4c^2}\ge 0,$$
hay
$$\dfrac{(2b+c)^2}{4a^2+4b^2+c^2}+\dfrac{(2c+a)^2}{a^2+4b^2+4c^2}+\dfrac{(2a+b)}{4a^2+b^2+4c^2}\le 3,$$
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có
$$\dfrac{(2b+c)^2}{2(2b^2+a^2)+c^2+2a^2}\le \dfrac{2b^2}{2b^2+a^2}+\dfrac{c^2}{c^2+2a^2}. $$
Tương tự chúng ta cũng có
$$\dfrac{(2c+a)^2}{2(2c^2+b^2)+a^2+2b^2}\le\dfrac{2c^2}{2c^2+b^2}+\dfrac{a^2}{a^2+2b^2}.$$
$$\dfrac{(2a+b)}{2(2a^2+c^2)+b^2+2c^2 }\le \dfrac{2a^2}{2a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+2c^2}.$$
Lại có
$$\dfrac{2b^2}{2b^2+a^2}+\dfrac{c^2}{c^2+2a^2}+\dfrac{2c^2}{2c^2+b^2}+\dfrac{a^2}{a^2+2b^2}+\dfrac{2a^2}{2a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+2c^2}=3.$$
Hoàn tất chứng minh.

TQ

ới các số thực không âm $a,b,c$ và $k\ge 0$ thì
$$\dfrac{a^2-bc}{2ka^2+k^2b^2+c^2}+\dfrac{b^2-ca}{a^2+2kb^2+k^2c^2}+\dfrac{c^2-ab}{k^2a^2+b^2+2kc^2}\ge 0.$$

Bài 6: 

Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{ab}{b+2kc+k^2a}+\dfrac{bc}{c+2ka+k^2b}+\dfrac{ca}{a+2kb+k^2c}\le \dfrac{a+b+c}{\left(k+1\right)^2}.$$

Bài giải

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có
$$ \dfrac{\left(k+1\right)^2ab}{b+2kc+k^2a}=\dfrac{\left(k+1\right)^2ab}{b+kc+k\left(c+ka \right)}\le ab\left(\dfrac{1}{b+kc}+\dfrac{k}{c+ka} \right).$$
Tương tự
$$\dfrac{\left(k+1\right)^2bc}{c+2ka+k^2b}\le bc \left(\dfrac{1}{c+ka}+\dfrac{k}{a+kb} \right).$$
$$\dfrac{\left(k+1\right)^2ca}{a+2kb+k^2c}\le ca\left(\dfrac{1}{a+kb}+\dfrac{k}{b+kc} \right). $$
Lại có
$$ab\left(\dfrac{1}{b+kc}+\dfrac{k}{c+ka} \right)+bc \left(\dfrac{1}{c+ka}+\dfrac{k}{a+kb} \right)+ca\left(\dfrac{1}{a+kb}+\dfrac{k}{b+kc} \right)=a+b+c.$$
Vì thế cộng vế theo vế thì hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ và $c=kb$, $a=0$ (hoặc một vài hoán vị).