Tích phân $\int\limits_{ – 2}^0 {\left( {{x^3} + 3{x^2} – 2} \right)^{2019}{\rm{d}x}} $

08/02/2009 in Giải Tích by Mr 2M | No comments

Bài tích phân sau đây, được xử lý bằng việc biến thiên cận.

Bài toán. Tính tích phân\[I=\int\limits_{ – 2}^0 {\left( {{x^3} + 3{x^2} – 2} \right)^{2019}{\rm{d}}x} .\]

Lời giải. Gọi $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm đa thức $$g(x)=\left( {{x^3} + 3{x^2} – 2} \right)^{2019}.$$ Ta xét hàm $I(x)=f(x)-f(-2-x)$ và có\begin{align*}
{\rm{d}}I\left( x \right) &= {\rm{d}}\left( {f(x) – f( – 2 – x)} \right)\\
&= {\rm{d}}f\left( x \right) – {\rm{d}}f\left( { – 2 – x} \right)\\
&= g\left( x \right){\rm{d}}x + g\left( { – 2 – x} \right){\rm{d}}x\\
&= \left( {{{\left( {{x^3} + 3{x^2} – 2} \right)}^{2019}} + {{\left( {{{\left( { – 2 – x} \right)}^3} + 3{{\left( { – 2 – x} \right)}^2} – 2} \right)}^{2019}}} \right){\rm{d}}x\\
&= 0.
\end{align*}Vậy, $I(x)$ là hàm hằng, cho nên có kết quả\[I = I\left( 0 \right) = I\left( { – 1} \right) = f\left( { – 1} \right) – f\left( { – 1} \right) = 0.\]

Tags:

Reply