Có bạn muốn trao đổi về bài toán 😀
Bài toán. Tính tích phân \[I=\int {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}dx}. \]Tôi có lời giải như sau đây.

Lời giải bằng biến đổi vi phân. Đặt $\sqrt{x^2+4x+5}=t$, ta có $x^2+4x+5=t^2$ vì thế có $$tdt=(x+2)dx=(x+2)d(x-8)=(x+2)d(x+2).$$Xét vi phân $D = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}dx$, chúng ta có\begin{align*}
D &= \frac{{2{x^2} – 2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}dx = \frac{{{t^2} + \left( {x – 8} \right)\left( {x + 2} \right) + 13}}{{2t}}dx\\
&= \frac{{td\left( {x – 8} \right) + \left( {x – 8} \right)dt}}{2} + 13\frac{{d\left( {x + 2} \right)}}{{2t}}.
\end{align*}Đồng thời theo tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta lại có\[\frac{{d\left( {x + 2} \right)}}{t} = \frac{{dt}}{{x + 2}} = \frac{{d\left( {x + 2} \right) + dt}}{{t + x + 2}} = \frac{{d\left( {x + t + 2} \right)}}{{x + t + 2}}.\]Như vậy, ta có được\[D = d\left( {\frac{1}{2}t\left( {x – 8} \right) +\frac{13}{2} \ln \left| {x + t + 2} \right|} \right).\]Và có được kết quả là\[I = \frac{1}{2}\left( {x – 8} \right)\sqrt {{x^2} + 4x + 5} +\frac{13}{2} \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} + 2} \right| + C.\]

Lời giải bằng phép thế. Đặt $\sqrt{x^2+4x+5}=t$, ta có $(x+2)^2+1=t^2$ và\[\left( {t – x – 2} \right)\left( {t + x + 2} \right) = 1.\]Đặt tiếp $t+x+2=s$, ta có $t-x-2=\frac{1}{s}$ và vì thế ta rút ra được\[t = \frac{1}{2}\left( {s + \frac{1}{s}} \right),\quad x = \frac{1}{2}\left( {s – \frac{1}{s}} \right).\]Đem thay vào ta sẽ có\begin{align*}
D &= \frac{{{x^2} – x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}dx\\
&= \frac{{\frac{1}{4}{{\left( {s – \frac{1}{s}} \right)}^2} – \frac{1}{2}\left( {s – \frac{1}{s}} \right) + 1}}{{\frac{1}{2}\left( {s + \frac{1}{s}} \right)}}d\left( {\frac{1}{2}\left( {s – \frac{1}{s}} \right)} \right)\\
&= \frac{{{s^4} – 2{s^3} + 2{s^2} + 2s + 1}}{{4{s^3}}}ds\\
&= \left( {\frac{1}{4}s – \frac{1}{2} + \frac{1}{{2s}} + \frac{1}{{2{s^2}}} + \frac{1}{{4{s^3}}}} \right)ds\\
&= d\left( {\frac{1}{8}{s^2} – \frac{1}{2}s + \frac{1}{2}\ln s – \frac{1}{{2s}} – \frac{1}{{8{s^2}}}} \right)
\end{align*}Công việc còn lại là thay $s=x+2+\sqrt{x^2+4x+5}$ vào.