Tâm ngoại tiếp của tam giác antipedal của tam giác ceva của tâm ngoại tiếp

Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp $O.$ $O^*$ là điểm liên hợp đẳng cự của $O.$ $A’B’C’$ là tam giác ceva của $O.$ $A”B”C”$ là tam giác antipedal của $O$ đối với tam giác $A’B’C’.$ Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp của tam giác $A”B”C”$ nằm trên đường thẳng $OO^*.$

  1. Trần Quang Hùng’s avatar

    Tran Quang Hung]:

    Let ABC be a triangle.
    Circumcenter O.
    O* is isotomic conjugate of O.
    A’B’C’ is cevian triangle of O.
    A”B”C” is antipedal triangle of O wrt A’B’C’.
    O” is circumcenter of triangle A”B”C”.

    Prove that O” lies on line OO*.

    —– O*=X(264) is isotomic conjugate of O; lies on line X(3)X(95).
    —– O” is circumcenter of triangle A”B”C”.

    O” = a^2 (-(b^2-c^2)^2+a^2 (b^2+c^2)) (a^16-5 a^14 (b^2+c^2)+b^2 c^2 (b^2-c^2)^4 (b^4+4 b^2 c^2+c^4)+3 a^12 (3 b^4+7 b^2 c^2+3 c^4)-a^10 (5 b^6+33 b^4 c^2+33 b^2 c^4+5 c^6)+a^8 (-5 b^8+23 b^6 c^2+38 b^4 c^4+23 b^2 c^6-5 c^8)-a^4 (b^2-c^2)^2 (5 b^8+7 b^6 c^2+8 b^4 c^4+7 b^2 c^6+5 c^8)+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^10-b^8 c^2-4 b^6 c^4-4 b^4 c^6-b^2 c^8+c^10)+a^6 (9 b^10-7 b^8 c^2-14 b^6 c^4-14 b^4 c^6-7 b^2 c^8+9 c^10)) : :

    O” is the reflection of X(i) in X(j), for these {i, j}:
    O” lies on lines X(i)X(j) for these {i, j}: {3,95}, {1154,10606}, {7395,12012}, {11197,17928}
    (6 – 9 – 13) – search numbers of O”: (-36.4490708229672, 34.3019910430569, -3.28421970653172).

Reply