Thặng Dư Bậc Hai

You are currently browsing articles tagged Thặng Dư Bậc Hai.

Bài toán. Cho $p$ là số nguyên tố và các số nguyên dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

  • $a^2+ab+b^2$ chia hết cho $p$.
  • $a^5+b^5+c^5$ chia hết cho $p$.
  • $p$ không là ước của $a+b+c$.

Chứng minh rằng $p\equiv 1\pmod 6$. Read the rest of this entry »

Tags: ,

Với các số nguyên dương $m,\,n$ cho trước và $a$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $m$, xét phương trình đồng dư\begin{align}x^n\equiv a\pmod m,\qquad (1).\end{align}Ở các phần phía trước bao gồm http://songha.maths.vn/khai-niem-thang-du-bac-cao-va-can-theo-modulo/, http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ và http://songha.maths.vn/so-cac-thang-du-bac-cao/ thì về cơ bản thì chúng ta đã giải quyết được hai vấn đề, đó là Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,

Ở bài viết về điều kiện để là thặng dư bậc cao ở http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ , ta đã chỉ ra rằng nếu $m=m_1m_1$ với $m_1,\,m_2\in\mathbb Z^+$ trong đó $\gcd\left(m_1,\,m_2\right)=1$ và $n$ là một số nguyên dương. Khi đó số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau với $m$ và là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$ nếu và chỉ nếu $a$ vừa là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_1$ và đồng thời là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_2$.

Bây giờ với $a_1,\,a_2$ lần lượt là các thặng dư bậc $n$ theo các mod $m_1,\,m_2$ tương ứng. Lúc đó, lại theo định lý thặng dư Trung Hoa sẽ tồn tại duy nhất $a\in\mathcal U_m$ sao cho Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,

Cho các số nguyên dương $m,\,n$ và số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a,\,m)=1$, giả sử phân tích ra thừa số nguyên tố của $m$ là\[m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_t^{k_t}.\]Trong đó, $k_i\in\mathbb{Z}^+,\,p_i\in\mathbb P,\;\forall\,i=\overline{1,\,t}$ và $p_1<p_2<\ldots<p_t$.

Nếu $a$ là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$, thì từ $a\equiv r^n\pmod m$ với $r$ là một căn bậc $n$ của $a$ theo mod $m$, ta có Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Cho trước các số nguyên dương $m,\,n$, và số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a,\,m)=1$. Khi đó, với việc biết cấp của $a$ theo mod $m$ là $\text{ord}_m(a)=h$ chúng ta đã có được thuật toán tìm số dư $r$ của $a^n$ khi chia $m$ đó là.

  •  Tìm số dư $r_0$ của $n$ khi đem chia cho $h$.
  •  Tìm số dư $r$ khi đem $a^{r_0}$ chia cho $m$.

Công việc này dù rắc rối hơn đôi chút, nhưng cũng giống như vấn đề ở đại số sơ cấp đó là tính giá trị của lũy thừa $a^n$ khi biết trước $a$ và $n$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Dưới đây là lời giải cho một bài toán rất khó về tính chất số học của đa thức.

Bài toán. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

Lời giải.  Giả sử $P(x)$ và $m$ là đa thức và số nguyên dương thỏa mãn, ta có 2 nhận xét sau:

Nhận xét 1. Nếu $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m+2^nP(n)$ thì $p\mid P'(n).$

Chứng minh. Ta có $v_p\left(m+2^nP(n)\right)\ge 2$, theo Fermat bé thì\[m + {2^n}P\left( n \right) \equiv m + {2^{n + p\left( {p – 1} \right)}}P\left( {n + p\left( {p – 1} \right)} \right)\pmod{p}.\]Vì thế ta lại có $v_p\left(m+2^{n+p(p-1)}P\left(n+p(p-1)\right)\right)\ge 2$, theo bổ đề tiếp tuyến và định lý Euler ta có Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,