Số Học

You are currently browsing articles tagged Số Học.

I. Khái niệm về căn nguyên thủy.

Số nguyên dương $m$ gọi là có căn nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $a$ sao cho $a$ và $m$ nguyên tố cùng nhau và $$\text{ord}_{m}(a)=\varphi(m).$$

II. Điều kiện để có căn nguyên thủy.

Ta xét đến một ví dụ sau Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Trước tiên ta có khẳng định sau

Định lý 13.1.Với $g(x)$ và $h(x)$ là hai đa thức với các hệ số nguyên, trong đó:
\[\begin{align*}
g(x)=&a_lx^l+\ldots+a_0,\,\quad\quad a_l\ne 0\\
h(x)=&b_mx^m+\ldots+b_0,\,\quad\; b_m\ne 0
\end{align*}\]
Giả sử rằng $g(x)h(x)=c_{l+m}x^{l+m}+\ldots+c_0$, khi đó \[\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right).\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right) =\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right). \]

Chứng minh. Ta có thể coi $\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right)=\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right)=1$. Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right)$ và Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,

Chúng ta quan tâm đến khái niệm sau.

Định nghĩa. Một đa thức $f(x)$ với biến $x$ được gọi là Đa thức giá trị nguyên khi và chỉ khi nó nhận giá trị nguyên khi $x$ là số nguyên.

Ví dụ. Các đa thức có hệ số nguyên là những đa thức giá trị nguyên. Tuy nhiên có những đa thức có hệ số không là số nguyên nhưng vẫn là đa thức giá trị nguyên, chẳng hạn đa thức sau đây \[\dbinom{x}{r} = \dfrac{{x(x – 1) \ldots (x – r + 1)}}{{r!}}.\]Ta kí hiệu $f(x+1)-f(x)=\Delta f(x)$ và có khẳng định sau. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Với $n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Khi phân tích $n!$ ra thừa số nguyên tố, ta quan tâm đến bậc của $p$ trong phân tích đó. Và có định lý của Legendre như sau.

Định lý 11.1. Với $p$ là số nguyên tố. Lúc đó số mũ đúng của $p$ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của $n!$ là \[v_p\left(n!\right)=\left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^1}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^2}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^3}}}} \right\rfloor + \ldots \]
 Để ý rằng, chỉ có hữu hạn các số hạng khác không trong tổng trên. Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Việc khẳng định sự tồn tại một số hoàn hảo lẻ là một bài toán khó và rất nổi tiếng. Ở chương trước ta thấy xác định một số hoàn hảo chẵn sẽ quy về việc xác định những số nguyên tố Mersenne, đó là số nguyên tố dạng $2^{n}-1,$ từ đó ta có sự tương ứng giữa những số nguyên tố Mersenne và  những số hoàn hảo chẵn. Tuy nhiên, việc khẳng định có tồn tại vô hạn số nguyên tố Mersenne hay không lại là một vấn đề rất khó và chưa có lời giải trong lý thuyết số.

 
Định lý 10.1. Nếu $n>1$ và $a^{n}-1$ là một số nguyên tố, thì lúc đó $a=2$ và $n$ là một số nguyên tố. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Ở trong bài viết này, tôi muốn giới thiệu cho các bạn một loại số đặc biệt. Đó là các số hoàn hảo, cùng với đó là các tính chất thú vị của nó.

Định lý 9.1.  hiệu $\sigma (n)$ là tổng các ước số của $n$. Nếu $n=p_1^{a_1}\ldots p_s^{a_s}$, lúc đó \[\sigma (n) = \dfrac{{{p_1}^{{a_1} + 1} – 1}}{{{p_1} – 1}} \ldots \dfrac{{{p_s}^{{a_s} + 1} – 1}}{{{p_s} – 1}}.\]

Chứng minh. Tất cả những ước số của $n$ có dạng \[p_1^{x_1}\ldots p_s^{x_1},\,\quad 0\le x_1\le a_1,\,\ldots,0\le x_s\le a_s.\] Từ đó ta có Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Trong phần này ta bàn đến các phương trình dạng $ax+by=c$, (với $a,\,b,\,c$ là những hằng số nguyên) và một số vấn đề xoay quanh chủ đề đó như điều kiện có nghiệm, cấu trúc tập nghiệm hay các số Frobenius.

Trước tiên, từ Định lý4.4  ta có ngay định lý sau đây.

Định lý 8.1. Điều kiện cần và đủ cho phương trình \[ax+by=n\] để có nghiệm nguyên $x,\,y$ là $\gcd\left(a,\,b\right)\mid n$

Đồng thời ta cũng có khẳng định sau Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Định lý 7.1. Cho $N$ đối tượng, và giả sử rằng có $N_{\alpha}$ đối tượng trong chúng mang tính chất $\alpha$, $N_{\beta}$ đối tượng trong chúng mang tính chất $\beta,\,\ldots,$ $N_{\alpha\beta}$ trong chúng mang cả hai tính chất $\alpha\beta,\,\ldots,\,N_{\alpha\beta\gamma}$ trong chúng mang cả ba tính chất $\alpha,\,\beta $ và $\gamma,\,\ldots$. Lúc đó số các đối tượng không có bất kì tính chất nào được nêu trên được tính bởi công thức
\[\begin{align*}
N &- {N_\alpha } – {N_\beta } – \ldots \\
&+ {N_{\alpha \beta }} +N_{\alpha \gamma } \ldots \\
&- {N_{\alpha \beta \gamma }} – \ldots \\
&+ \ldots – \ldots
\end{align*}; \qquad (A).\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Trước tiên, ta quan tâm đến khẳng định sau đây.

Định lý 5.1. Với p là một số nguyên tố, và $p \mid ab$. Lúc đó hoặc $p \mid a$ hoặc $p \mid b$.

Chứng minh. Nếu $p \nmid a$, lúc đó $\gcd(a,\,p)=1$ . Từ định lý 4.4 ở bài viết Modulus của các số nguyên, sẽ tồn tai hai số nguyên $x,\,y$ thoả mãn \[xa+yb=1,\]từ đó ta có được\[b=xab+ybp.\]Lại  có $p\mid ab$ và $x,\,b\in\mathbb Z$ nên $p\mid b$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Một modulus được hiểu là một tập hợp các số nguyên với tính đóng với những phép toán cộng và trừ. Nói cách khác, nếu $m,\,n$ là các số nguyên ở trong một modulus thì $m+n$ và $m-n$ cũng thuộc modulus đó. Một modulus chỉ bao gồm duy nhất số $0$ được gọi là modulus $0$. Một tập hợp các số nguyên có dạng một modulus cũng giống như tập của các số nguyên là bội của một số nguyên $k$ cố định.

Định lý 4.1.  Chúng ta có một số tính chất cơ bản như sau về modulus

  1.  Số $0$ thuộc về tất cả các modulus
  2.  Với $a,\,b$ cùng thuộc về một modulus và $m,\,n $ là các số nguyên, lúc đó $am+bn$ cũng thuộc về modulus.

Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

« Older entries § Newer entries »