Số Học
You are currently browsing articles tagged Số Học.
Bài này, liên quan đến một bài viết khác của tôi, vấn đề đặt ra là như thế sau
Với $\alpha=\frac{1+\sqrt 5}{2}$, xét vành $R = \left\{ {a + b\alpha :\;a,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} b \in \mathbb Z} \right\}$, ta cần đi tìm các số nguyên tố $p$ để $I(p)=\{pr:\;r\in R\}$ là một ideal nguyên tố. Nghĩa là, cần tìm $p$ sao cho cứ từ $xy\in I(p)$ thì phải có $x\in I(p)$ hoặc $y\in I(p)$.
Bởi vì $5=\left(\sqrt 5\right)^2$, và nếu đặt $
\frac{1-\sqrt 5}{2}=\beta$ thì $\beta\in R$ thêm nữa $-2\alpha\beta=2$ cho nên ta chỉ cần xét các số nguyên tố lẻ và khác $5$.
Read the rest of this entry »
Tags: Đồng Dư, ideal, ideal nguyên tố, Số Học, Thặng Dư Bậc Hai
Tình cờ, mình nhìn thấy cái bài này trên THTT, nội dung như sau đây
Bài toán. Cho $n$ là một số nguyên dương, chứng minh rằng phải có $3^{n+1}$ bé hơn số ${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}} + {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{3^n}}}$, đồng thời cái số đó sẽ chia hết cho $3$.
Read the rest of this entry »
Tags: Định Giá p-adic, Đồng Dư, ideal, LTE, Số Học, Vành bậc 2
“How to Solve It” là tên một cuốn sách nổi tiếng của G.Pólya, một nhà sư phạm Toán Học nổi tiếng. Tôi mạo phép mượn nó làm tiêu đề cho chuỗi bài viết này, một chuỗi bài tôi muốn viết từ lâu. Nguyên nhân khoan hoãn và trù trừ cho dự định viết chuỗi bài này, vì tôi cảm thấy tự ti bởi năng lực bản thân, sợ viết ra rồi bị đánh giá là lên gân etc vv.. Tuy nhiên, do bản chất công việc phải làm hằng ngày, nên tôi lại hiểu rõ trách nhiệm mình cần làm. Thôi thì cứ viết lại những gì mình cảm nhận, hy vọng nó có ích với một số đối tượng nhất định. Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đại Số, Giải Tích, Nghiệp Vụ, Số Học
Trong Shortlist IMO 2001 có bài toán
Bài toán. Cho số nguyên tố $p$ lớn hơn $5$, chứng minh rằng có một phần tử $a$ của nhóm các ước của đơn vị mod $p$ (tức là $a\in\mathcal U_p=\{1,\,2,\,\ldots ,\,p-1\}$), sao cho\[{v_p}\left( {{a^{p – 1}} – 1} \right) = {v_p}\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^{p – 1}} – 1} \right) = 1.\]Đây là một bài toán có lời giải dùng đến thương đồng dư khá thú vị, như sau Read the rest of this entry »
Tags: Bổ Đề Tiếp Tuyến, Đồng Dư, Nhóm Đơn Vị, Số Học, Thương Đồng Dư
Cá nhân tôi nghĩ rằng, khởi đầu của Số Học có lẽ là từ sự nhận thức của con người về tập hợp số tự nhiên $\mathbb N$, về bản năng thì điều này rất.. tự nhiên do nhu cầu đếm. Tuy nhiên, đưa ra một định nghĩa đàng hoàng về $\mathbb N$ là một điều khó khăn. Ở đây, chúng ta sẽ xây dựng $\mathbb N$ dựa trên hệ tiên đề Peano, như sau đây.
Hệ tiên đề Peano cho tập số tự nhiên. Chúng ta thừa nhận sự tồn tại của tập hợp các số tự nhiên $\mathbb N$, mà trên đó xác định một quan hệ gọi là “liền sau”, thỏa mãn cả bốn tiên đề dưới đây. Read the rest of this entry »
Tags: Đồng Dư, Giải Tích, Nền Tảng, Nguyên Lý Cực Hạn, Nguyên Lý Quy Nạp, Số Học, Thuật Toán Chia
Trong đề thi chọn đội VMO của Khánh Hòa, có bài toán sau đây
Bài toán 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho \[n = a + \frac{{\left( {a + b – 1} \right)\left( {a + b – 2} \right)}}{2}.\]
Bài toán này, nhìn bề ngoài rõ ràng là một bài Số Học, và ta cũng có những lời giải thuần Số Học cho nó. Read the rest of this entry »
Tags: Ánh Xạ, Dãy Số, Số Học, Song Ánh, Tập Hợp
Bài toán Dãy số nguyên $\left( {{x_n}} \right)$, thỏa $0\le x_0<x_1\le 100$ và\[{x_{n + 2}} = 7{x_{n+1}} – {x_n} + 280,\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]
- Với $x_0=2,\,x_1=3$, chứng minh rằng tổng các ước số dương của $x_{n}x_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+2018$ là bội số của $24$.
- Tìm các cặp $\left(x_0,\,x_1\right)$ sao cho $x_nx_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số tự nhiên $n$.
Read the rest of this entry »
Tags: Dãy Số, Dãy Số Nguyên, Đồng Dư, Số Học
Đây là bản dịch tiếng Việt của 8 bài toán Số Học ở IMO Shortlist 2017, lời giải các bài toán sẽ được sớm bổ xung.
P1. Với mỗi số nguyên dương $a_0$ lớn hơn $1$, ta xác định dãy số $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ bởi công thức truy hồi$$a_{n+1} =
\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{nếu }\; \sqrt{a_n} \in\mathbb Z, \\
a_n + 3 & \text{nếu}\;\sqrt{a_n} \notin\mathbb Z.
\end{cases}
$$Xác định các giá trị $a_0$ sao cho tồn tại một số $A$ thỏa mãn $a_n=A$ với vô số giá trị $n$. Read the rest of this entry »
Tags: IMO, IMO Shortlist, Số Học
Bài toán. Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n – 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$.
Lời giải. Với $p$ là một số nguyên tố, trước tiên ta có bổ đề (tính chất của định giá phi Archimedean)\[{v_p}\left( {x + y} \right) \ge \min \left\{ {{v_p}\left( x \right),\, {v_p}\left( y \right)} \right\}\quad\forall\, x,\,y\in\mathbb Q.\] Read the rest of this entry »
Tags: Dãy Số Nguyên, Định Giá p-adic, IMO, Số Học, Ước Nguyên Tố Của Dãy Nguyên
Đây là bài toán 29 trong mã đề 123 mà bộ Dục ra cho học sinh, trong kỳ thi THPT năm 2018. Bài toán này thoạt nhìn chả có gì ghê gớm, bản chất vốn chỉ là một bài tính tích phân đơn giản với nội dung như sau.
Bài toán. Cho $a,\,b,\,c$ là các số hữu tỷ thỏa mãn\[\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11.} \]Mệnh đề nào dưới đây đúng?\[A.\;a+b=-3c,\qquad B.\;a-b=-c,\qquad C.\;a+b=c,\qquad D.\;a+b=3c.\]
Để giải bài toán này, mẹo mực bấm máy thì mình không quan tâm. Nếu phải tính cái tích phân kia, thì mình làm như thế này. Read the rest of this entry »
Tags: Định Lý Cơ Bản Của Số Học, ĐMCS, Số Học, Tích Phân, UFD
Với các số nguyên dương $m,\,n$ cho trước và $a$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $m$, xét phương trình đồng dư\begin{align}x^n\equiv a\pmod m,\qquad (1).\end{align}Ở các phần phía trước bao gồm http://songha.maths.vn/khai-niem-thang-du-bac-cao-va-can-theo-modulo/, http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ và http://songha.maths.vn/so-cac-thang-du-bac-cao/ thì về cơ bản thì chúng ta đã giải quyết được hai vấn đề, đó là Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Phản Hồi