You are currently browsing articles tagged Nhóm Đơn Vị.
Bài toán sau, có thể coi là một mở rộng của định lý Wilson.
Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố, thỏa mãn $p-3$ chia hết cho $8$. Gọi $S$ là tập tất cả các số ở dạng $a+b\sqrt 2$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên không âm nhỏ hơn $p$ và không đồng thời bằng $0$. Giả sử tích tất cả các phần tử của $S$ viết được dưới dạng $m+n\sqrt 2$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên. Tìm số dư của $m$ và $n$ khi đem chia cho $p$. Read the rest of this entry »
Tags: Định Lý Wilson, Nhóm Đơn Vị, Trường Hữu Hạn
Trong Shortlist IMO 2001 có bài toán
Bài toán. Cho số nguyên tố $p$ lớn hơn $5$, chứng minh rằng có một phần tử $a$ của nhóm các ước của đơn vị mod $p$ (tức là $a\in\mathcal U_p=\{1,\,2,\,\ldots ,\,p-1\}$), sao cho\[{v_p}\left( {{a^{p – 1}} – 1} \right) = {v_p}\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^{p – 1}} – 1} \right) = 1.\]Đây là một bài toán có lời giải dùng đến thương đồng dư khá thú vị, như sau Read the rest of this entry »
Tags: Bổ Đề Tiếp Tuyến, Đồng Dư, Nhóm Đơn Vị, Số Học, Thương Đồng Dư
Suốt dọc từ đây của bài giảng này đến hết, mỗi khi viết $\text{ord}_m(a)$ ta sẽ mặc định các điều kiện là $m\in\mathbb Z^+,\;a\in\mathbb Z$ và $\gcd(a;\,m)=1$. Tính chất đầu tiên của mục này, sẽ cho ta thấy ngay tác dụng của cấp trong việc tìm số dư của lũy thừa bậc cao.
Tính chất 1. Với các số mũ $k;\,l\in\mathbb N$ và $\text{ord}_m(a)=d$ khi đó đồng dư $a^k\equiv a^l\pmod m$ xảy ra khi và chỉ khi xảy ra đồng dư $k\equiv l\pmod d$.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $k\ge l$. Trước tiên ta đi chứng minh rằng hễ $k\equiv l\pmod d$ thì $a^k\equiv a^l\pmod m$, thật vậy. Vì $k\equiv l\pmod d$ nên $k=l+qd$ với $q\in\mathbb N$ khi ấy do $a^d\equiv 1\pmod m$ nên Read the rest of this entry »
Tags: Cấp và căn theo modulo, Định Lý Euler, Định Lý Fermat bé, Đồng Dư, Nhóm, Nhóm Đơn Vị, Số Học
Với $m$ là một số nguyên khác $0$. Nếu $a-b$ là bội của $m$, lúc đó ta nói $a$ đồng dư với $b\mod m$ và ta viết $a\equiv b\pmod m$. Nếu $a$ không đồng dư với $b$ mod $m$, lúc đó ta viết $a\not\equiv b\pmod m$.
Ví dụ. $31\equiv -9\pmod {10}$.
Nếu $a,\,b$ đều là các số nguyên lúc đó ta luôn có $a\equiv b\pmod 1$.
Khái niệm của đồng dư xảy ra thường xuyên và và trong ngay cả cuộc sống hằng ngày của chúng ta, một ví dụ đó là để xác định ngày trong tuần chúng ta sẽ xét đồng dư $\mod 7$. Trong lịch ở đất nước chúng tôi ta đếm số năm bằng việc xét đồng dư $\mod 60$. Read the rest of this entry »
Tags: Định Lý Euler, Định Lý Fermat bé, Đồng Dư, Hệ Thặng Dư Thu Gọn, Nhóm Đơn Vị, Số Học
Phản Hồi