IMO

You are currently browsing articles tagged IMO.

Đây là bản dịch tiếng Việt của 8 bài toán Số Học ở IMO Shortlist 2017, lời giải các bài toán sẽ được sớm bổ xung.

P1. Với mỗi số nguyên dương $a_0$ lớn hơn $1$, ta xác định dãy số $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ bởi công thức truy hồi$$a_{n+1} =
\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{nếu }\; \sqrt{a_n} \in\mathbb Z, \\
a_n + 3 & \text{nếu}\;\sqrt{a_n} \notin\mathbb Z.
\end{cases}
$$Xác định các giá trị $a_0$ sao cho tồn tại một số $A$ thỏa mãn $a_n=A$ với vô số giá trị $n$. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán. Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n – 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$.

Lời giải. Với $p$ là một số nguyên tố, trước tiên ta có bổ đề (tính chất của định giá phi Archimedean)\[{v_p}\left( {x + y} \right) \ge \min \left\{ {{v_p}\left( x \right),\, {v_p}\left( y \right)} \right\}\quad\forall\, x,\,y\in\mathbb Q.\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

 

1. Cho số nguyên dương $m$, và $n$ (với $n>1$) số nguyên khác $0$ là $x_1,\,x_2,\,\ldots ,\,x_n$. Biết rằng số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p^m\mid x_1$ còn $x_k$ không chia hết cho $p^m$ với mọi $k>1$. Chứng minh rằng:\[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + \ldots + \frac{1}{{{x_n}}} \notin \mathbb Z.\]

2. Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\gcd (a,\,b,\,c)=1$ và $$a\mid bc,\;b\mid ca,\;c\mid ab.$$ Chứng minh rằng $\dfrac{bc}{a}$ là một số chính phương. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,