Giải Tích

You are currently browsing articles tagged Giải Tích.

Bài toán. Cho các số $p,\,q>0$ thỏa mãn $p+q=1$, tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn$$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f^{\prime}(p x+q y), \quad \forall x \neq y.$$ Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bất đẳng thức Cauchy còn có tên gọi khác là AM-GM, nó là một trong những bất đẳng thức quen thuộc nhất ở chương trình phổ thông. Quen thuộc cho đến nỗi, hồi tôi còn mới dậy thì-con chim cu gáy rầm rì lông măng, từng có một trường THCS còn mở một cuộc thi (chắc là chỉ có ở xứ An Nam) đó là: Thi áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Thế nội dung của bất đẳng thức Cauchy đó ra sao, mà từng một thời nhân dân An Nam phát rồ cả lên như thế, thì nó là thế này

Bất đẳng thức Cauchy cho hai số. Cho hai số thực dương $a$ và $b$, khi đó trung bình cộng hai số đó sẽ không bé hơn trung bình nhân của chúng, tức là\[\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.\]

Bằng việc viết sai phân dãy, truy toán và bất đẳng thức đánh giá hàm lũy thừa với hàm tiếp tuyến của nó (Bernoulli), ta sẽ có được mở rộng đầu tiên như sau

Bất đẳng thức Cauchy cho nhiều số.  Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ và $n$ số thực dương $a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_n$, khi đó trung bình cộng $n$ số đó sẽ không bé hơn trung bình nhân của chúng, tức là\[\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.\]

Trong nhiều số thực dương kia, ta lại cho từng cụm các số bằng nhau, để lại có

Bất đẳng thức Cauchy với trọng số hữu tỷ.  Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ và $n$ số thực dương $a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_n$. Giả sử $k_1,\,k_2,\,\ldots ,\,k_n$ là $n$ số hữu tỷ dương có tổng bằng $1$, khi đó có\[{k_1}{a_1} + {k_2}{a_2} + \ldots + {k_n}{a_n} \ge a_1^{{k_1}}a_2^{{k_2}} \ldots a_n^{{k_n}}.\]

Khi bạn đọc là học sinh đủ lớn, khi đã biết khái niệm về số mũ thực, chạy qua giới hạn, ta lại có kết quả như sau đây

Bất đẳng thức Cauchy với trọng số thực.  Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ và $n$ số thực dương $a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_n$. Giả sử $k_1,\,k_2,\,\ldots ,\,k_n$ là $n$ số thực dương có tổng bằng $1$, khi đó có\[{k_1}{a_1} + {k_2}{a_2} + \ldots + {k_n}{a_n} \ge a_1^{{k_1}}a_2^{{k_2}} \ldots a_n^{{k_n}}.\]

Bây giờ, tôi đi đến kết quả của cá nhân tôi, khi mở rộng bất đẳng thức Cauchy.

Bất đẳng thức Cauchy kiểu bạn 2M. Cho $\left(x_i\right)_{1\le i\le n}$ và $\left(\alpha_i\right)_{1\le i\le n}$ là hai bộ số thực dương thỏa mãn $\sum\limits_{1 \le i \le n} {{x_i}} = \sum\limits_{1 \le i \le n} {{\alpha_i},} $ khi đó có\[\prod\limits_{i = 1}^n {\alpha_i^{{\alpha_i}}} \ge \prod\limits_{i = 1}^n {x_i^{{\alpha_i}}} .\]

Chứng minh. Với $x$ và $a$ là các số thực dương bất kỳ, khi đó theo định lý giá trị trung bình Lagrange, ta sẽ có số $c$ nằm giữa $x$ và $a$ sao cho\[\ln x – \ln a = \frac{{x – a}}{c} = \frac{{x – a}}{a} + \frac{{\left( {x – a} \right)\left( {a-c} \right)}}{{ca}} \le \frac{{x – a}}{a}.\]Vậy nên là ta sẽ có\[\ln \left( {\prod\limits_{1 \le i \le n} {x_i^{{\alpha_i}}} } \right) – \ln \left( {\prod\limits_{1 \le i \le n} {\alpha_i^{{\alpha_i}}} } \right) = \sum\limits_{1 \le i \le n} {{\alpha_i}\left( {\ln {x_i} – \ln {\alpha_i}} \right) \le \sum\limits_{1 \le i \le n} {\left( {{x_i} – {\alpha_i}} \right) = 0.} } \]

$\square$

Nhìn bề ngoài, chưa thấy một suy diễn nào cho ta mấy bất đẳng thức Cauchy đã nêu phía trước là hệ quả trực tiếp của kết quả tôi nêu, nhưng thực ra là thế này.

Nếu với mỗi số nguyên dương $i$ không vượt quá $n$, ta đi ta chọn $\alpha_i=k_im$ trong đó $m=\sum\limits_{1 \le i \le n} {{k_i}{a_i}} $, và $x_i=k_ia_i$, thế thì từ kết quả tôi nêu ta sẽ có\[{m^m}\left( {\prod\limits_{1 \le i \le m} {k_i^{m{k_i}}} } \right) = \prod\limits_{1 \le i \le n} {\alpha _i^{{\alpha _i}} \ge } \prod\limits_{1 \le i \le n} {x_i^{{\alpha _i}} = \left( {\prod\limits_{1 \le i \le n} {k_i^{m{k_i}}} } \right){{\left( {\prod\limits_{1 \le i \le n} {a_i^{{k_i}}} } \right)}^m}.} \]Giản ước bỏ hệ số dương $\prod\limits_{1 \le i \le n} {k_i^{{mk_i}}} $, ta có được điều đang cần.

Bây giờ thì lại phải nói thế này, từ bất đẳng thức Cauchy ta lại suy ra được kết quả tôi nêu. Công việc đó, nhường bạn nào đọc bài viết này mà có hứng thú 😀

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tags: , ,

Newer entries »