GCD

You are currently browsing articles tagged GCD.

I. Khái niệm về căn nguyên thủy.

Số nguyên dương $m$ gọi là có căn nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $a$ sao cho $a$ và $m$ nguyên tố cùng nhau và $$\text{ord}_{m}(a)=\varphi(m).$$

II. Điều kiện để có căn nguyên thủy.

Ta xét đến một ví dụ sau Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Định lý 7.1. Cho $N$ đối tượng, và giả sử rằng có $N_{\alpha}$ đối tượng trong chúng mang tính chất $\alpha$, $N_{\beta}$ đối tượng trong chúng mang tính chất $\beta,\,\ldots,$ $N_{\alpha\beta}$ trong chúng mang cả hai tính chất $\alpha\beta,\,\ldots,\,N_{\alpha\beta\gamma}$ trong chúng mang cả ba tính chất $\alpha,\,\beta $ và $\gamma,\,\ldots$. Lúc đó số các đối tượng không có bất kì tính chất nào được nêu trên được tính bởi công thức
\[\begin{align*}
N &- {N_\alpha } – {N_\beta } – \ldots \\
&+ {N_{\alpha \beta }} +N_{\alpha \gamma } \ldots \\
&- {N_{\alpha \beta \gamma }} – \ldots \\
&+ \ldots – \ldots
\end{align*}; \qquad (A).\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Chọn $x_1;\,x_2;\, \ldots ;\, x_n$ là $n$ số nguyên bất kì. Ta kí hiệu $\min\left(x_1;\,x_2;\, \ldots ;\, x_n\right)$ và $\max\left(x_1;\,x_2 \ldots ;\, x_n\right)$ lần lượt là số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các số $x_1;\,x_2;\, \ldots ;\, x_n$ đó. Định lý nêu ra sau đây là hiển nhiên.

Định lý 6.1. Với $a,\,b$ là hai số nguyên dương và $p_1,\,p_2,\,\ldots,p_s$ là những ước nguyên tố thì, lúc đó ta có thể viết
\[\begin{align*}
a &= p_1^{{a_1}}p_2^{{a_2}} \ldots p_s^{{a_s}},\quad {a_v} \ge 0,\\ \\
b &= p_1^{{b_1}}p_2^{{b_2}} \ldots p_s^{{b_s}},\quad {b_v} \ge 0,\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {p_1} < {p_2} < \ldots {p_s}.
\end{align*}\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Một modulus được hiểu là một tập hợp các số nguyên với tính đóng với những phép toán cộng và trừ. Nói cách khác, nếu $m,\,n$ là các số nguyên ở trong một modulus thì $m+n$ và $m-n$ cũng thuộc modulus đó. Một modulus chỉ bao gồm duy nhất số $0$ được gọi là modulus $0$. Một tập hợp các số nguyên có dạng một modulus cũng giống như tập của các số nguyên là bội của một số nguyên $k$ cố định.

Định lý 4.1.  Chúng ta có một số tính chất cơ bản như sau về modulus

  1.  Số $0$ thuộc về tất cả các modulus
  2.  Với $a,\,b$ cùng thuộc về một modulus và $m,\,n $ là các số nguyên, lúc đó $am+bn$ cũng thuộc về modulus.

Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

 

1. Cho số nguyên dương $m$, và $n$ (với $n>1$) số nguyên khác $0$ là $x_1,\,x_2,\,\ldots ,\,x_n$. Biết rằng số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p^m\mid x_1$ còn $x_k$ không chia hết cho $p^m$ với mọi $k>1$. Chứng minh rằng:\[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + \ldots + \frac{1}{{{x_n}}} \notin \mathbb Z.\]

2. Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\gcd (a,\,b,\,c)=1$ và $$a\mid bc,\;b\mid ca,\;c\mid ab.$$ Chứng minh rằng $\dfrac{bc}{a}$ là một số chính phương. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,