Đồng Dư

You are currently browsing articles tagged Đồng Dư.

Trước tiên, ta có được định lý sau.

Định lý. Với $\gcd\left( m,\,m’\right)=1$, và để $x$ chạy khắp một hệ thặng dư đầy đủ mod $m$, và $x’$ chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod $m’$. Lúc đó $mx’+xm’$ chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod $mm’$.

Chứng minh. Xét $mm’$ số $mx’+xm’$. Nếu \[mx’+m’x\equiv my’+m’y\pmod{mm’},\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Bổ đề sau tuy đơn giản, nhưng có ý nghĩa lớn trong việc nâng bậc đồng dư. Nó là mấu chốt cho việc chứng minh hệ thống bổ đề LTE.

Bổ Đề. Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $p$ là số nguyên tố và $x \equiv a\pmod p$, khi đó
\[P(x) \equiv P(a) + (x – a)P'(a)\pmod{p^2}.\]

Chứng minh. Do tính đóng của các phép toán số học với quan hệ đồng dư, nên thực chất bổ đề này chỉ cần chứng minh với trường hợp $P(x)=x^n$. Lúc đó, chỉ cần viết ra hằng đẳng thức sau là thấy ngay Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Vào năm 1828 Abel đưa ra một câu hỏi là liệu có số nguyên $a$ và số nguyên tố $p$ nào thoả $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p^2?$. Theo Jacobi : $p\le 37$ lúc đó đồng dư thức trên có những nghiệm $(p,\,a)$ là \[(11,\,3),\,\quad (11,\,9),\,\quad (29,\,14),\,\quad (37,\,18).\] Qua quá trình nghiên cứu định lý cuối cùng của Fermat đã thúc đẩy vấn đề này. Định lý như sau: Với $p$ là mộ số nguyên tố lẻ. Nếu tồn tại những số nguyên $x,\,y,\,z$ thoả $x^p+y^p+z^p=0,\,p\nmid xyz$, lúc đó \[2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2},(1)\] Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

 1. Khái niệm

Với $m$ là một số nguyên khác $0$. Nếu $a-b$ là bội của $m$, lúc đó ta nói $a$  đồng dư với $b\mod m$ và ta viết $a\equiv b\pmod m$. Nếu $a$ không đồng dư với $b$ mod $m$, lúc đó ta viết $a\not\equiv b\pmod m$.

Ví dụ.  $31\equiv -9\pmod {10}$.

Nếu $a,\,b$ đều là các số nguyên lúc đó ta luôn có $a\equiv b\pmod 1$.

Khái niệm của đồng dư xảy ra thường xuyên và và trong ngay cả cuộc sống hằng ngày của chúng ta, một ví dụ đó là để xác định ngày trong tuần chúng ta sẽ xét đồng dư $\mod 7$. Trong lịch ở đất nước chúng tôi ta đếm số năm bằng việc xét đồng dư $\mod 60$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Bài toán khá thú vị sau đây nói về đồng dư của tổng các luỹ thừa theo mod nguyên tố, nội dung như sau.

Bài toán. Cho $p$ là số nguyên lẻ và số nguyên dương $k<p-1$, chứng minh rằng\[1^{k}+2^{k}+…+(p-1)^{k}\equiv 0\pmod p.\]

Bài toán này, có hai lời giải như dưới đây. Lời giải đầu sử dụng đến định lý Viettè với đa thức trên $\mathbb Z_p$, còn lời giải thứ hai sử dụng đến căn nguyên thuỷ. Cụ thể là thế này. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Newer entries »