Định Giá p-adic

You are currently browsing articles tagged Định Giá p-adic.

Bài toán. Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n – 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$.

Lời giải. Với $p$ là một số nguyên tố, trước tiên ta có bổ đề (tính chất của định giá phi Archimedean)\[{v_p}\left( {x + y} \right) \ge \min \left\{ {{v_p}\left( x \right),\, {v_p}\left( y \right)} \right\}\quad\forall\, x,\,y\in\mathbb Q.\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Với các số nguyên dương $m,\,n$ cho trước và $a$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $m$, xét phương trình đồng dư\begin{align}x^n\equiv a\pmod m,\qquad (1).\end{align}Ở các phần phía trước bao gồm http://songha.maths.vn/khai-niem-thang-du-bac-cao-va-can-theo-modulo/, http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ và http://songha.maths.vn/so-cac-thang-du-bac-cao/ thì về cơ bản thì chúng ta đã giải quyết được hai vấn đề, đó là Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,

Ở bài viết về điều kiện để là thặng dư bậc cao ở http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ , ta đã chỉ ra rằng nếu $m=m_1m_1$ với $m_1,\,m_2\in\mathbb Z^+$ trong đó $\gcd\left(m_1,\,m_2\right)=1$ và $n$ là một số nguyên dương. Khi đó số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau với $m$ và là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$ nếu và chỉ nếu $a$ vừa là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_1$ và đồng thời là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_2$.

Bây giờ với $a_1,\,a_2$ lần lượt là các thặng dư bậc $n$ theo các mod $m_1,\,m_2$ tương ứng. Lúc đó, lại theo định lý thặng dư Trung Hoa sẽ tồn tại duy nhất $a\in\mathcal U_m$ sao cho Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,

Cho các số nguyên dương $m,\,n$ và số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a,\,m)=1$, giả sử phân tích ra thừa số nguyên tố của $m$ là\[m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_t^{k_t}.\]Trong đó, $k_i\in\mathbb{Z}^+,\,p_i\in\mathbb P,\;\forall\,i=\overline{1,\,t}$ và $p_1<p_2<\ldots<p_t$.

Nếu $a$ là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$, thì từ $a\equiv r^n\pmod m$ với $r$ là một căn bậc $n$ của $a$ theo mod $m$, ta có Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Rất nhiều vấn đề trong Số Học liên quan đến sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố trong một dãy nguyên. Ví dụ như định lý Dirichlet, các số nguyên tố Fermat hay các số nguyên tố Mersene. Một vấn đề đơn giản hơn, đó là nói đến các ước nguyên tố của phần tử trong dãy. Bài viết này bàn về khái niệm ước nguyên tố của một dãy số nguyên, và tập các ước nguyên tố đó. Phạm vi bài viết là ở mức độ các bài toán sơ cấp, mặc dù vấn đề trong bài vẫn được nghiên cứu ở lý thuyết Số cao cấp. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,

Với $n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Khi phân tích $n!$ ra thừa số nguyên tố, ta quan tâm đến bậc của $p$ trong phân tích đó. Và có định lý của Legendre như sau.

Định lý 11.1. Với $p$ là số nguyên tố. Lúc đó số mũ đúng của $p$ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của $n!$ là \[v_p\left(n!\right)=\left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^1}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^2}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^3}}}} \right\rfloor + \ldots \]
 Để ý rằng, chỉ có hữu hạn các số hạng khác không trong tổng trên. Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Bài toán sau đây có sử dụng đến định giá p-adic, nội dung như sau

Bài toán. Cho số nguyên tố $p$ và các số tự nhiên $x;\,y;\,m$, với $x;\,y>1$ thỏa mãn \[\frac{x^p+y^p}{2}=\left(\frac{x+y}{2}\right)^m.\] Chứng minh rằng $m=p$.
Lời giải. Giả sử $m\ne p$, theo bất đẳng Jensen ta có\[{\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^m} = \frac{{{x^p} + {y^p}}}{2} \ge {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^p}.\]Từ đó, $m>p\ge 2$ ta giả sử $\gcd(x;\,y)=d$ và viết $x=da;\,y=db$ với $\gcd(a;\,b)=1$ để có\[{2^{m – 1}}\left( {{a^p} + {b^p}} \right) = {d^{m – p}}{\left( {a + b} \right)^m}.\] Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

 

1. Cho số nguyên dương $m$, và $n$ (với $n>1$) số nguyên khác $0$ là $x_1,\,x_2,\,\ldots ,\,x_n$. Biết rằng số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p^m\mid x_1$ còn $x_k$ không chia hết cho $p^m$ với mọi $k>1$. Chứng minh rằng:\[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + \ldots + \frac{1}{{{x_n}}} \notin \mathbb Z.\]

2. Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\gcd (a,\,b,\,c)=1$ và $$a\mid bc,\;b\mid ca,\;c\mid ab.$$ Chứng minh rằng $\dfrac{bc}{a}$ là một số chính phương. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,