Bài toán. Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}_{n\in\mathbb N^*}$, thỏa mãn $a_1=a$ và\[a_{n+1}=a_n^2+1,\quad\forall\,n\in\mathbb N^*.\]Chứng minh rằng không tồn tại $n\in\mathbb N^*$ sao cho $\prod\limits_{1 \le k \le n} {\left( {a_k^2 + {a_k} + 1} \right)} $ là một số chính phương. Read the rest of this entry »
You are currently browsing articles tagged Dãy Số Nguyên.
Tags: Dãy Số Nguyên, Đồng Dư
Bài toán Dãy số nguyên $\left( {{x_n}} \right)$, thỏa $0\le x_0<x_1\le 100$ và\[{x_{n + 2}} = 7{x_{n+1}} – {x_n} + 280,\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]
- Với $x_0=2,\,x_1=3$, chứng minh rằng tổng các ước số dương của $x_{n}x_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+2018$ là bội số của $24$.
- Tìm các cặp $\left(x_0,\,x_1\right)$ sao cho $x_nx_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số tự nhiên $n$.
Tags: Dãy Số, Dãy Số Nguyên, Đồng Dư, Số Học
Bài toán. Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n – 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$.
Lời giải. Với $p$ là một số nguyên tố, trước tiên ta có bổ đề (tính chất của định giá phi Archimedean)\[{v_p}\left( {x + y} \right) \ge \min \left\{ {{v_p}\left( x \right),\, {v_p}\left( y \right)} \right\}\quad\forall\, x,\,y\in\mathbb Q.\] Read the rest of this entry »
Tags: Dãy Số Nguyên, Định Giá p-adic, IMO, Số Học, Ước Nguyên Tố Của Dãy Nguyên
Bài 1. Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} – \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
- Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
- Chứng minh rằng
\[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]link: http://mathscope.org/showthread.php?t=51561
Tags: Bất Đẳng Thức, Đại Số, Dãy Số, Dãy Số Nguyên, Giải Tích, Giới Hạn, Hàm Số, Hình Học Phẳng, Số Học, Tổ Hợp
Bài toán ở dưới đây, là bài Số Học trong đề thi VMO năm 2018 (bài số 6), một bài toán cổ điển về dãy Lucas. Nói chung, bài này tính chất Số Học thì ít mà chủ yếu là màu sắc Đại Số sơ cấp.
Bài toán. Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,x_1=1$ và $$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\left ( n\geq 0 \right ).$$
- Với $n\geq 1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
- Tìm các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$.
Lời giải. Dãy số trong bài toán trên gọi là dãy Lucas, và tất cả bài toán gói gọn trong công thức sau Read the rest of this entry »
Tags: Dãy Lucas, Dãy Số, Dãy Số Nguyên, Số Học, VMO, VMO2018
Phản Hồi