Dãy Số Nguyên

You are currently browsing articles tagged Dãy Số Nguyên.

Bài toán. Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n – 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$.

Lời giải. Với $p$ là một số nguyên tố, trước tiên ta có bổ đề (tính chất của định giá phi Archimedean)\[{v_p}\left( {x + y} \right) \ge \min \left\{ {{v_p}\left( x \right),\, {v_p}\left( y \right)} \right\}\quad\forall\, x,\,y\in\mathbb Q.\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Bài 1. Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} – \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]

  1. Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
  2. Chứng minh rằng
    \[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]link: http://mathscope.org/showthread.php?t=51561

Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , , , ,

Bài toán ở dưới đây, là bài Số Học trong đề thi VMO năm 2018 (bài số 6), một bài toán cổ điển về dãy Lucas. Nói chung, bài này tính chất Số Học thì ít mà chủ yếu là màu sắc Đại Số sơ cấp.

Bài toán. Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,x_1=1$ và $$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\left ( n\geq 0 \right ).$$

  1. Với $n\geq 1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
  2. Tìm các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$.

Lời giải. Dãy số trong bài toán trên gọi là dãy Lucas, và tất cả bài toán gói gọn trong công thức sau Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,