Đa Thức

You are currently browsing articles tagged Đa Thức.

Bài toán. Cho đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$.

  1.  Với $\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
  2.  Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$ để viết được $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài viết này, có nội dung là một số bài toán tôi sử dụng để dạy các học sinh thi VMO năm học 2018-2019. Các bài toán này, một số được tôi sáng tác mới hoặc mở rộng và làm mạnh từ các bài đã cũ.

P1. Một số nguyên dương $a$ gọi “đẹp” nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Trước tiên ta có khẳng định sau

Định lý 13.1.Với $g(x)$ và $h(x)$ là hai đa thức với các hệ số nguyên, trong đó:
\[\begin{align*}
g(x)=&a_lx^l+\ldots+a_0,\,\quad\quad a_l\ne 0\\
h(x)=&b_mx^m+\ldots+b_0,\,\quad\; b_m\ne 0
\end{align*}\]
Giả sử rằng $g(x)h(x)=c_{l+m}x^{l+m}+\ldots+c_0$, khi đó \[\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right).\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right) =\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right). \]

Chứng minh. Ta có thể coi $\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right)=\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right)=1$. Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right)$ và Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,

Chúng ta quan tâm đến khái niệm sau.

Định nghĩa. Một đa thức $f(x)$ với biến $x$ được gọi là Đa thức giá trị nguyên khi và chỉ khi nó nhận giá trị nguyên khi $x$ là số nguyên.

Ví dụ. Các đa thức có hệ số nguyên là những đa thức giá trị nguyên. Tuy nhiên có những đa thức có hệ số không là số nguyên nhưng vẫn là đa thức giá trị nguyên, chẳng hạn đa thức sau đây \[\dbinom{x}{r} = \dfrac{{x(x – 1) \ldots (x – r + 1)}}{{r!}}.\]Ta kí hiệu $f(x+1)-f(x)=\Delta f(x)$ và có khẳng định sau. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Với $m$ là một số nguyên dương cho trước và $f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ là một đa thức hệ số nguyên, chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình đồng dư\[f(x)\equiv 0\pmod m.\]Nhận xét rằng, nếu $x_0$ là một nghiệm của phương trình đồng dư trên thì với mọi số nguyên $t$ ta có $x_0+mt$ cũng là nghiệm. Điều đó cho thấy hễ $x_0$ là một nghiệm, thì lớp thặng dư sinh bởi $x_0$ cũng ta nghiệm. Bởi vậy, khi ta nói đến số nghiệm của một phương trình đồng dư thì ta hiểu đó là số các lớp thặng dư khác nhau thoả mãn phương trình. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Định lý 9.1. Với $p$ là một số nguyên tố. Lúc đó số nghiệm của đồng dư  $$\begin{align} f(x)=a_nx_n+\ldots+a_0\equiv 0\pmod p,\end{align}\quad (7)$$không vượt quá $n$.         

Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng $p\nmid a$. Định lý sẽ trở nên tầm thường nếu $(7)$ không có nghiệm. Nếu $a$ là một nghiệm khi đó ta có thể viết \[f(x)=(x-a)f_1(x)+r_1,\] trong đó ta thấy rằng $p\mid r_1=f(a)$. Từ đó $$f(x)\equiv (x-a)f_1(x)\pmod p.$$ Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Định lý. Với $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3, và ta kí hiệu số nguyên $s^*$ thoả $ss^*\equiv 1 \pmod{p^2}$ là $\dfrac{1}{s}$. Lúc đó ta có \[1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{p – 1}} \equiv 0 \pmod {p^2} \]

Chứng minh. Với Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Dưới đây là lời giải cho một bài toán rất khó về tính chất số học của đa thức.

Bài toán. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

Lời giải.  Giả sử $P(x)$ và $m$ là đa thức và số nguyên dương thỏa mãn, ta có 2 nhận xét sau:

Nhận xét 1. Nếu $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m+2^nP(n)$ thì $p\mid P'(n).$

Chứng minh. Ta có $v_p\left(m+2^nP(n)\right)\ge 2$, theo Fermat bé thì\[m + {2^n}P\left( n \right) \equiv m + {2^{n + p\left( {p – 1} \right)}}P\left( {n + p\left( {p – 1} \right)} \right)\pmod{p}.\]Vì thế ta lại có $v_p\left(m+2^{n+p(p-1)}P\left(n+p(p-1)\right)\right)\ge 2$, theo bổ đề tiếp tuyến và định lý Euler ta có Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,