You are currently browsing articles tagged Căn Nguyên Thuỷ.
Bài viết này, có nội dung là một số bài toán tôi sử dụng để dạy các học sinh thi VMO năm học 2018-2019. Các bài toán này, một số được tôi sáng tác mới hoặc mở rộng và làm mạnh từ các bài đã cũ.
P1. Một số nguyên dương $a$ gọi “đẹp” nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018. Read the rest of this entry »
Tags: Bổ Đề Tiếp Tuyến, Căn Nguyên Thuỷ, Đa Thức, Hàm Phần Nguyên, Song Ánh, Thặng Dư Bậc Cao
Với các số nguyên dương $m,\,n$ cho trước và $a$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $m$, xét phương trình đồng dư\begin{align}x^n\equiv a\pmod m,\qquad (1).\end{align}Ở các phần phía trước bao gồm http://songha.maths.vn/khai-niem-thang-du-bac-cao-va-can-theo-modulo/, http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ và http://songha.maths.vn/so-cac-thang-du-bac-cao/ thì về cơ bản thì chúng ta đã giải quyết được hai vấn đề, đó là Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Ở bài viết về điều kiện để là thặng dư bậc cao ở http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ , ta đã chỉ ra rằng nếu $m=m_1m_1$ với $m_1,\,m_2\in\mathbb Z^+$ trong đó $\gcd\left(m_1,\,m_2\right)=1$ và $n$ là một số nguyên dương. Khi đó số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau với $m$ và là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$ nếu và chỉ nếu $a$ vừa là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_1$ và đồng thời là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_2$.
Bây giờ với $a_1,\,a_2$ lần lượt là các thặng dư bậc $n$ theo các mod $m_1,\,m_2$ tương ứng. Lúc đó, lại theo định lý thặng dư Trung Hoa sẽ tồn tại duy nhất $a\in\mathcal U_m$ sao cho Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Cho các số nguyên dương $m,\,n$ và số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a,\,m)=1$, giả sử phân tích ra thừa số nguyên tố của $m$ là\[m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_t^{k_t}.\]Trong đó, $k_i\in\mathbb{Z}^+,\,p_i\in\mathbb P,\;\forall\,i=\overline{1,\,t}$ và $p_1<p_2<\ldots<p_t$.
Nếu $a$ là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$, thì từ $a\equiv r^n\pmod m$ với $r$ là một căn bậc $n$ của $a$ theo mod $m$, ta có Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Cho trước các số nguyên dương $m,\,n$, và số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a,\,m)=1$. Khi đó, với việc biết cấp của $a$ theo mod $m$ là $\text{ord}_m(a)=h$ chúng ta đã có được thuật toán tìm số dư $r$ của $a^n$ khi chia $m$ đó là.
Công việc này dù rắc rối hơn đôi chút, nhưng cũng giống như vấn đề ở đại số sơ cấp đó là tính giá trị của lũy thừa $a^n$ khi biết trước $a$ và $n$. Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
I. Khái niệm về căn nguyên thủy.
Số nguyên dương $m$ gọi là có căn nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $a$ sao cho $a$ và $m$ nguyên tố cùng nhau và $$\text{ord}_{m}(a)=\varphi(m).$$
II. Điều kiện để có căn nguyên thủy.
Ta xét đến một ví dụ sau Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Cấp và căn theo modulo, Định Lý Euler, Định Lý Fermat bé, GCD, Phi hàm Euler, Số Học
Bài toán khá thú vị sau đây nói về đồng dư của tổng các luỹ thừa theo mod nguyên tố, nội dung như sau.
Bài toán. Cho $p$ là số nguyên lẻ và số nguyên dương $k<p-1$, chứng minh rằng\[1^{k}+2^{k}+…+(p-1)^{k}\equiv 0\pmod p.\]
Bài toán này, có hai lời giải như dưới đây. Lời giải đầu sử dụng đến định lý Viettè với đa thức trên $\mathbb Z_p$, còn lời giải thứ hai sử dụng đến căn nguyên thuỷ. Cụ thể là thế này. Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Đa Thức Hệ Số Nguyên, Định Lý Viettè, Đồng Dư, Tổng Luỹ Thừa, Tổng Luỹ Thừa, Trường Hữu Hạn
Phản Hồi